Workshop Bochum 10.7.2013

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Analysis – mehr als Tangenten und Flächen ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen Werkzeugen Michael Rüsing B. M. V. –…
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Analysis – mehr als Tangenten und Flächen ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen Werkzeugen Michael Rüsing B. M. V. – Schule Bardelebenstraße 9 45147 Essen michael@ruesing-essen.de Vorgesehene Reihenfolge 1. Darstellung eines Einstiegs in die Differentialrechnung mit CAS 2. Teile des Einstiegs, die mit GTR möglich sind 3. Einstiege der Teilnehmerinnen und Teilnehmer 4. Konsequenzen in der S I 5. Vergleich von Abituraufgaben mit und ohne CAS 6. Einstieg in die Integralrechnung Zwischendurch: Unterbrechungen, Kommentare, Fragen, Änderungswünsche Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht • beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen, • durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten, • mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen, • durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten. Bildungsstandards Einstieg in die Differentialrechnung Voraussetzungen Änderungsrate ist bei linearen Funktionen bekannt Intuitiver Grenzwertbegriff ist vorhanden Einstiegsaufgabe zur Differentialrechnung Schilderung eines Problemzusammenhangs An einer meteorologischen Messstation werden verschiedene Wetterdaten erhoben. Unter anderem wird auch die Regenmenge registriert. In einem oben offenen Glasrohr kann abgelesen werden, wie hoch der Regenwasserstand ist. Wird zu verschiedenen Zeitpunkten die Höhe des Wasserstandes registriert, ergibt sich eine Wasserstandsfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion lassen sich eine ganze Reihe von Fragen beantworten. Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung 3 2 t t h(t )    3t 300 7 Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen t  0;24 Wie hoch steht das Wasser nach 8 Stunden? h(8) Wann steht das Wasser 5 cm hoch? h(t )  5 Um wie viel ist der Wasserstand von 10 h(11)  h(10) Uhr bis 11 Uhr gestiegen? Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit der Gleichung 3 2 t t h(t )    3t 300 7 Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen t  0;24 Hat es um 15.00 Uhr stärker geregnet oder um 16.00 Uhr? Erster Lösungsansatz 675 h(15)   24,1 Also hat es um 16.00 stärker 28 geregnet. 13168 h(16)   25,1 525 Zweiter Lösungsansatz h(16)  h(15)  0,97 In der 16. Stunde ist mehr h(17)  h(16)  1,01 Regen gefallen als in der 17. Dritter Lösungsansatz h(15,5)  h(15)  0,484 Die Werte werden so klein und h(16,5)  h(16)  0,499 sind nicht mehr miteinander vergleichbar. Wie entscheidet man, ob es von h(15,1)  h(15)  0,097 15 bis 15,5 heftiger geregnet hat h(16,1)  h(16)  0,099 als von 15 bis 15,1? Wähle ein gemeinsame Bezugsgröße, etwa eine Stunde: h(15,1)  h(15) 10 wird verglichen mit h(16,5)  h(16)  2 Verallgemeinerung Bisher berechnet: durchschnittliche Regenheftigkeit in Intervallen Beobachtung: Je kürzer das Intervall, desto besser stimmt der Durchschnittswert mit der Heftigkeit des Regens zu dem gewünschten Zeitpunkt überein. Erinnerung: Grenzwertbildung Term (unendlich viele Durchschnittswerte) als Voraussetzung für Grenzwertbildung Im Unterricht beobachtete Alternativen  1 h t    h(t )  n   h t  10 n  ht  h(t  x)  h(t ) 1 10 n x n Alle Alternativen sind brauchbar Vorteile des Einsatzes von CAS „Analysis ist schwer, weil man dabei so viel rechnen muss“ Neu zu lernen notwendiges Werkzeug f ( x  h)  f ( x ) algebraische Vereinfachung h leicht schwer Schülermeinung Durch den Einsatz von CAS werden Schwierigkeiten isoliert Erwartete Schülerlösung: Kombinieren der Schwierigkeiten Bei welchen Funktionstypen sollen die Schüler die Umformung des Differenzenquotienten ohne Technologie leisten? Zu welchem Zeitpunkt soll das geschehen? Klausuraufgabe: Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung f ( x)  2 x  3x  1 2 Bestimmen Sie f '(2) als Grenzwert ohne Technologie Geometrische Veranschaulichung Geometrische Veranschaulichung Geometrische Veranschaulichung Geometrische Veranschaulichung Geometrische Veranschaulichung Geometrische Veranschaulichung Beispielaufgabe Die Füllmenge in einem Vorratsbehälter ist gegeben durch die Funktion mit der Gleichung: t3 1 2 V (t )   t  3t  150 150 4 Dabei ist V in m³ und t in Stunden gemessen. Betrachtet wird der Ablauf eines Tages, also t liegt zwischen 0 und 24. a) Wie groß ist der Verbrauch im Laufe des Tages? b) Ist der Vorratsbehälter im Laufe des Tages irgendwann leer? c) Wann ist die Hälfte der Anfangsmenge im Behälter? d) Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate während des Tages? e) Zu welchem Zeitpunkt ist die Verbrauchsrate maximal? f) Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauchsrate minimal? g) Wie groß ist die minimale bzw. maximale Verbrauchsrate? 3 t 1 2 V (t )   t  3t  150 150 4 Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Differentialrechung. Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein. Noch nicht bekannt: Ableitungsregeln Ableitungsfunktion von CAS Vergleich der Unterrichtsgänge zur Differentialrechnung Vorgehensweise ohne CAS Vorgehensweise mit CAS Motivierendes Einführungsbeispiel Motivierendes Einführungsbeispiel Kriterium: Einfache Berechenbarkeit Kriterium: interessanter Kontext Anwendungen: neue Begriffe mit Ableitungsregeln Hilfe der Ableitung Ableitungsregeln werden an den Kriterien für Kurvendiskussion Beispielen entdeckt Kriterien als Hilfsmittel zum Anwendungen: Kurvendiskussion Aufstellen von und Extremwertaufgaben Funktionsgleichungen Übertragen Sie die vorgestellten Möglichkeiten auf Ihren eigenen Unterricht. Welchen Einstieg verwenden Sie für die Differentialrechung? Diskutieren Sie, ob dieser Einstieg durch die Verwendung von elektronischen Hilfsmitteln unterstützt werden kann. Notieren Sie, an welchen Stellen eine Unterstützung sinnvoll sein kann. Bevorzugen Sie dabei GTR oder CAS? http://did.mathematik.uni- halle.de/lehrerseite/Rechenfertigkeiten_Taschenrechner_2000.pdf Kopfalgebra Kopfalgebra Kopfalgebra Kopfalgebra Kopfalgebra Kopfalgebra Kopfalgebra Kopfalgebra Interview mit einer 36jährigen Akademikerin Aufgabenstellung des Versuchsleiters: An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch eine Gleichung in S und P aus. Versuchsperson (schreibt) 6S = P Versuchsleiter nehmen wir einmal an, es sind 10 Professoren. Wie viele Studenten sind das dann? Versuchsperson 60 Versuchsleiter Setzen Sie das in die Gleichung ein. Versuchsperson 6∙60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen (nach einer Pause schreibt sie): P + 6S = P + S Versuchsleiter Was bedeutet das? Versuchsperson Die Professoren und die auf jeden Professor fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten Versuchsleiter Hhmm... Bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann? Versuchsperson (streicht P auf beiden Seiten durch): 6S = S Versuchsleiter Kann das stimmen? Versuchsperson Ja natürlich ... Die Gruppen zu 6 Studenten ergeben zusammen alle Studenten. Versuchsleiter Setzen Sie wieder die Zahlen ein. Versuchsperson 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das 6∙60 = 10. Das kann nicht stimmen. (nach einer Pause schreibt sie): P + S = 7 Versuchsleiter (räuspert sich) Versuchsperson (bessert aus zu): P + 6S = 7 Versuchsleiter Was bedeutet das? Versuchsperson Ein Professor und seine 6 Studenten sind zusammen 7 Personen. Gleichung zu einem Graphen Zeichnung einer Schülerin Konkretisierung nach Diskussion Einigung auf Modellierung durch eine Funktion 5. Grades: g ( x)  ax 5  bx 4  cx 3  dx 2  ex  f Forderungen an die Funktion g (2)  1 g (5)  3 g (9)  6 g ' ( 2)  0 g ' (5)  0 g ' (9)  0 Ersetze die Bedingung g (9)  6 durch g ' ' (5)  0 Umkehraufgaben zur Differentialrechnung Gegeben ist eine Volumenfunktion durch einen Term V(t). Schreiben Sie jeweils auf, zu welcher Fragestellung der Rechenansatz passt: a) V (17) b) V (t )  5,3 c) V (12)  V (3) d) V ' (5) e) V ' (t )  0 Gegenüberstellung der beiden Versionen der Zentralabituraufgabe HT 1 von 2012 Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug. Anschließend wird der zeitliche Verlauf der Blutalkoholkonzentration (in Promille) aufgezeichnet. Dies wird hier im Modell durch eine Funktion beschrieben. Dabei ist a die Alkoholmenge im Wein in Gramm, K das Körpergewicht und t die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. Die Funktion auf die Lage der Maximalstelle und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang. a   1  20 t   1 1 f a ' (t ) 1   e  1 20   t   30  a  tm  20  ln  1 a  2060    20 600 2  t e  0e  1200a  1 t 600 1  20  2  a  k  1 e 2 1200  t  a  1  20 ln  600 t    1 20 t  ln  a 1  t  f a ' ' (t ) 20 a   e    a  e 20 1200  20  24000 Das Glas Wein, das die Versuchsperson in Die Versuchsperson wiegt 60 kg und das einem Zug leert, enthält 20 g reinen Glas enthält 21 g reinen Alkohol. Alkohol. beschrieben. b) (1) Berechnen Sie die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach dem Leeren des Glases. b) (2) Die Funktion F sei eine Stammfunktion der Funktion f. und interpretieren Sie diesen Ausdruck im Sachzusammenhang. . b) (4) Berechnen Sie die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 (170) Minuten nach dem Leeren des Glases. u  e  v140  0.099696  v140 u ve  0.001651 c) (3) Begründen Sie, zu welchen Zeitpunkten die Blutalkoholkonzentration der 0.001651 Versuchsperson bei Modellierung durch die Funktion h am schnellsten zu- bzw. v  0.01656 abnimmt, und berechnen Sie die zugehörigen Änderungsraten. 0.99696 0.099696 u  0.001656140  0.10129 e . Einstiegsaufgabe Integralrechnung Aufgabenstellung: Bei einem Unfall in einer Fabrik wurden Schadstoffe freigesetzt. Die Menschen, die in der Umgebung lebten, wurden evakuiert. Es soll bestimmt werden, wie viel diese Menschen von den Schadstoffen bis zum Zeitpunkt der Evakuierung eingeatmet haben. Menge Schadstoff in der Luft 500 l Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l Menge Schadstoffe " " " :2l bis zur Evakuierung 5 l Menge Schadstoff in der Luft 500 l Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l Menge Schadstoffe " " " :2l bis zur Evakuierung 5 l 100 l = Menge d. Schadstoffes 4 h = Unfall bis Evakuierung 25 l pro h ca 5 l bleiben in Luft 20 l auf 1000 Menschen verteilt 0,02 l pro h pro Person 0,08 l in 4 h 100 l = Menge d. Schadstoffes 4 h = Unfall bis Evakuierung 25 l pro h ca 5 l bleiben in Luft 20 l auf 1000 Menschen verteilt Aufnahmerate 0,02 l pro h pro Person Aufnahmerate * Zeit 0,08 l in 4 h Verbesserung des Ansatzes Bei nicht konstanter Aufnahmerate muss diese durch eine Funktion modelliert werden. Im Unterricht beobachtete Modellierungen der Funktion a: Quadratisch Grad 3 Exponentiell a(t )  0,004  t  10 2 a (t )  0,4  0,9 t Problem: Wie multipliziert man eine Funktion mit der Zeitdauer? Grundidee: Teile die gesamte Zeitspanne in kurze Abschnitte ein und tue so, als wäre die Rate innerhalb eines Abschnittes konstant. Konkrete Ausführung: Evakuierung nach 4 Stunden. Teile in 8 Abschnitte. Wähle als konstanten Wert den Funktionswert jeweils am Anfang des Abschnittes: 1 1 1 1 m8  a0   a0,5   a1     a3,5  2 2 2 2 7  1 1 m8   a i    i 0  2  2 Bisher im Unterricht beobachtete Ansätze Wähle als konstanten Wert n1  4 4 Funktionswert am linken mn   a i    i 0  n  n Rand des Abschnitts  4 4 n Funktionswert am rechten mn   a i    Rand des Abschnitts i 1  n  n n 1  4 4  4 Funktionswert in der Mitte mn   a i     des Abschnitts i 0  n 2 n  n  4  4 Mittelwert der Funktions- n a i     a i  1   mn    n   n   4 werte an den Rändern 2 n i 1 Anwendungssituationen für Integralrechnung Situation Multiplikation Integration Schadstoffmenge Aufnahmerate * Zeit Aufnahmeratenfunktion Fläche Breite * Länge Breitenfunktion Volumen Querschnittsfläche * Höhe Querschnittsflächenfunktion Nahrungsbedarf Bedarfsrate * Zeit Bedarfsratenfunktion Energiebedarf Bedarfsrate * Zeit Bedarfsratenfunktion Wassermenge Zulaufrate * Zeit Zulaufratenfunktion Aufgabenbeispiel Gegeben ist die Zulaufratenfunktion für ein Wasserbecken durch 3 2 t 15t 5t 275 z (t )     64 64 64 64 im Intervall [0; 6]. Dabei ist t in Stunden in z in m³/h gemessen. Negative Werte der Zulaufratenfunktion bedeuten, dass Wasser abläuft. a) Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in den Wasser zuläuft, und die Intervalle, in denen Wasser abläuft. b) Wie viel Wasser ist bis zum Ende der ersten Zulaufphase zugelaufen? c) Zu welchem Zeitpunkt ist während der Ablaufphase der Anfangswasserstand wieder erreicht? d) Zu welchem Zeitpunkt ist das Becken am stärksten gefüllt? e) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Zulaufrate vor? f) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Ablaufrate vor? g) Zu welchem Zeitpunkt liegt die maximale Änderung der Zulaufrate vor? h) Nehmen Sie an, es würde sich bei der Funktion um eine Geschwindigkeitsfunktion handeln. Geben Sie zu jedem der Aufgabenteile a) bis g) an, was Sie dann ausgerechnet hätten. Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Integralrechnung. Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein. Noch nicht bekannt: Integration mit Hilfe der Stammfunktionsmethode Integralfunktion von CAS Eventuell beschränken Sie sich auf die Teile zur Integralrechung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Differentialrechnung Integralrechnung Gegeben ist eine Volumenfunktion V (t )  0,02t 3  0,3t 2  2t  5 Gesucht ist die Zulaufratenfunktion z (t )  0,06t 2  0,6t  2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Differentialrechnung Integralrechnung Gegeben ist eine Volumenfunktion V (t )  0,02t 3  0,3t 2  2t  5 Gesucht ist die Zulaufratenfunktion Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion z (t )  0,06t 2  0,6t  2 z (t )  0,06t 2  0,6t  2 Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft 2 24  z (t )dt  25 1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Differentialrechnung Integralrechnung Gegeben ist eine Volumenfunktion V (t )  0,02t 3  0,3t 2  2t  5 Gesucht ist die Zulaufratenfunktion Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion z (t )  0,06t 2  0,6t  2 z (t )  0,06t 2  0,6t  2 Gesucht ist das Volumen, das im Gesucht ist das Volumen, das im Zeitraum [1;2] zuläuft Zeitraum [1;2] zuläuft 24 2 V (2)  V (1)  24 25  z (t )dt  25 1
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