Wiederholung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

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Wiederholung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie  Wahrscheinlichkeitsraum  Ergebnismenge  = {!1, !2,…} mit ! 2  Pr[!]=1. …
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Wiederholung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie  Wahrscheinlichkeitsraum  Ergebnismenge  = {!1, !2,…} mit ! 2  Pr[!]=1.  Berechnung von Pr[[ni=1 Ai]:  Ai disjunkt: Additionssatz ni=1 Pr[Ai]  Ai nicht disjunkt: Inklusion/Exklusion  Prinzip von Laplace: Pr[!]=1/|| für alle ! 2 . P r [A \ B ]  Bedingte Wahrscheinlichkeit: P r[A jB ] :=  Zweikinderproblem P r [B ]  Multiplikationssatz für Pr[Åni=1 Ai]:  Pr[A1Å…ÅAn] =Pr[A1]*Pr[A2|A1]*…*Pr[An|A1Å…ÅAn-1].  Geburtstagsproblem 05.02.2008 1 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Satz: Seien A1,…,An 2  paarweise disjunkt und B µ A1[…[An. Dann gilt n X P r[B ] = P r[B jA i ] ¢P r [A i ] i= 1  B µ A1[…[ An ) B = (B Å A1) … (B Å An)  Ai, Aj disjunkt für i j ) (BÅAi),(BÅAj) disjunkt für i  j  Additionssatz: Pr[B] = Pr[B Å A1] + … + Pr[B Å An] = Pr[B]*Pr[B|A1] + … + Pr[B]*Pr[B|An] Korollar: Pr[B] = Pr[B| A] * Pr[A] + Pr[B|A] * Pr[A] 05.02.2008 2 Das Ziegenproblem 1. Kandidat K wählt aus einer von 3 Türen.  Hinter 2 Türen stehen Ziegen.  Hinter einer Tür steht ein Auto. 2. Showmaster macht Tür mit Ziege auf. 3. Kandidat K darf Tür wechseln. Soll er?  Ereignis G:=„K gewinnt bei Türwechsel.“  Ziel: Bestimme Pr[G].  Ereignis A:=„K wählt in 1. das Auto aus.“  Berechne Pr[G] abhängig von A undA.  Pr[G| A]=0 : K wechselt auf Ziege.  Pr[G|A]=1: K wechselt auf Auto.  Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Pr[G] = Pr[G| A] * Pr[A] + Pr[G|A] * Pr[A] = 0*1/3 + 1*2/3 = 2/3  Damit gilt Pr[G]=1/3, K gewinnt  beim Türwechsel mit Ws 2/3  ohne Türwechsel mit Ws 1/3 05.02.2008 3 Satz von Bayes Satz: Seien A1,…,An paarweise disjunkt und B µ A1[…[An, Pr[B]>0. Dann gilt für alle i 2 [n]: P r[A i \ B ] P r[B jA i ] ¢P r[A i ] P r[A i jB ] = = Pn : P r[B ] j = 1 P r[B jA j ] ¢P r[A j ]  Folgt direkt aus Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. P r [B jA ] ¢P r [A ] Korollar: Sei Pr[B]>0. Dann gilt P r [A jB ] = : P r [B ]  Satz von Bayes erlaubt „Umdrehen“ der Bedingung:  Anstatt Ai unter der Bedingung B  betrachtet man B unter der Bedingung aller Aj 05.02.2008 4 Beispiel: Fehlerhafter Datenkanal  Si:=„Bit i wird gesendet.“ für i=0,1.  Pr[S0]=3/10, Pr[S1]=7/10.  Ri:=„Bit i wird empfangen.“ für i=0,1.  Bit kippt: Pr[R1|S0]=3/10, Pr[R0|S1]=1/10 Fragen:  Mit welcher Ws erhält man einen Übertragungsfehler?  Pr[„Übertragungsfehler“] = Pr[S0 Å R1] + Pr[S1 Å R0] = Pr[R1|S0]*Pr[S0] + Pr[R0|S1]*Pr[S1] = 16/100  Mit welcher Ws wird eine Eins empfangen?  Pr[R1] = Pr[R1|S0]*Pr[S0] + Pr[R1|S1]*Pr[S1] = 3/10*3/10 + 9/10*7/10 = 72/100  Mit welcher Ws wurde 0 gesendet, wenn 0 empfangen wird? 7 ¢3 P r[R 0 jS0 ] ¢P r [S0 ] 10 10 75 P r[S0 jR 0 ] = = 28 = : P r[R 0 ] 100 100 05.02.2008 5 Unabhängigkeit von Ereignissen  Zweimaliges Würfeln  ={(i, j) 2 [6]2}  Pr[!] = 1/36 für alle ! 2 .  A:=„Augenzahl im ersten Wurf ist gerade.“  B:=„Augenzahl im zweiten Wurf ist gerade.“  Frage: Wie groß ist Pr[B|A]?  Intuitiv: Pr[B|A] = Pr[B]:  Das Ergebnis des ersten Wurfs beeinflusst den 2. Wurf nicht.  Per Nachrechen:  B Å A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)} 9 P r [A \ B ] 36 1 ) P r [B jA ] = = 1 = = P r [B ] P r[A ] 2 2 05.02.2008 6 Definition Unabhängigkeit Def: A,B heißen unabhängig, falls Pr[AÅB] = Pr[A] * Pr[B]. P r [A \ B ]  Für Pr[B]>0 gilt: P r [A ] = = P r [A jB ]: P r [B ]  Eintreffen von B hat keinen Einfluss auf Eintreffen von A. Beispiel letzte Folie:  C = „Summe der Augenzahlen beträgt 7.“  Pr[C] = |{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}|/36 = 1/6.  Frage: Sind A und C unabhängig?  A Å C = {(2,5),(4,3),(6,1)}  Pr[A Å C] = 3/36 = 1/12 = 1/2 * 1/6 = Pr[A] * Pr[C] ) A und C sind unabhängig. 05.02.2008 7 Paarweise Unabh. versus Unabhängigkeit Beispiel von zuvor:  A und B unabhängig: Pr[A Å B] = Pr[A] * Pr[B]  A und C unabhängig: Pr[A Å C] = Pr[A] * Pr[C]  B und C analog zu A und C unabhängig: Pr[B Å C] = Pr[B] * Pr[C] Frage: Was ist mit Pr[A Å B Å C]?  A Å B: Beide Würfe sind gerade, d.h. die Summe ist gerade. ) Pr[A Å B Å C] = 0  Pr[A Å B] * Pr[C]  D.h. die Ereignisse A Å B und C sind abhängig. 05.02.2008 8 Unabhängigkeit beliebig vieler Ereignisse Def: A1,…,An heißen unabhängig, wenn für alle Iµ[n]: Y P r[\ i 2 I A i ] = P r[A i ] i2I Lemma: A1,…,An sind unabhängig , 8 s2 {0,1}n: s1 s1 P r[A 1 \ ::: \ A snn ] = P r[A 1 ] ¢: : : ¢P r[A snn ]; m it A 0i = A¹ i u n d A 1i = A i . Korollar: Seien A1, A2 unabhängig. Dann sind A1,A2 undA1, A2 undA1,A2 unabhängig. 05.02.2008 9 Beweis des Lemmas „)“: Induktion über Anzahl k der Nullen in s=s1,…,sn IA k=0, d.h. s1=…=sn=1: Pr[A1Å…An]=Pr[A1]*…*Pr[An] IS k-1 ! k: s enthalte k Nullen, oBdA s1=0. s P r [ A¹ 1 \ A 22 \ : : : \ A snn ] s s = P r [A 22 \ : : : \ A snn ] ¡ P r[A 1 \ A 22 \ : : : \ A snn ] s s = P r [A 22 ] ¢: : : ¢P r [A snn ] ¡ P r [A 1 ] ¢P r [A 22 ] ¢: : : ¢P r [A snn ] s2 = ( 1 ¡ P r [A 1 ]) ¢P r[A 2 ] ¢: : : ¢P r[A snn ] s = P r [ A¹ 1 ] ¢P r [A 22 ] ¢: : : ¢P r [A snn ] 05.02.2008 10 Rückrichtung „(“: Sei Iµ[n]. X sj P r [\ i 2 I A i ] = P r [( \ i 2 I A i ) \ ( \ j 2=I A j ) ] sj 2 f 0;1g;j 2=I X Y Y sj = P r [A i ] P r [A j ] sj 2 f 0;1g;j 2=I i 2 I j 2=I Y X X sj = P r [A i ] ¢ P r [A j ] i2I j 2=I sj 2 f 0;1g Y = P r [A i ] i2I 05.02.2008 11 Schnitt, Vereinigung unabh. Ereignisse Lemma: Seien A, B, C unabhängig. Dann gilt:  A Å B, C sind unabhängig.  A [ B, C sind unabhängig.  Schnitt: Pr[(A Å B) Å C] = Pr[A Å B Å C] = Pr[A]*Pr[B]*Pr[C] = Pr[A Å B]*Pr[C]  Vereinigung: Pr[(A [ B) Å C] = Pr[(A Å C) [ (B Å C)] = Pr[A Å C] + Pr[B Å C] – Pr[A Å B Å C] = Pr[C] (Pr[A] + Pr[B] – Pr[A Å B]) = Pr[A [ B] * Pr[C] 05.02.2008 12 Bsp.: Rechnen mit unabh. Ereignissen Szenario: k1 k2  Zwei Routen zwischen S und E  durch Knoten k1 und k2 S E  durch Knoten k3 k3  Ereignisse Ki = „Knoten ki ist intakt.“ unabhängig mit Pr[Ki]=p.  Ereignis R1:=„Route 1 verfügbar“, Pr[R1] = Pr[K1ÅK2] = p2  Ereignis R2:=„Route 2 verfügbar“, Pr[R2] = p Frage: Wie groß ist Pr[R1 [ R2]? D.h. eine Route ist verfügbar. P r [R 1 [ R 2 ] = 1 ¡ P r [: ( R 1 [ R 2 ) ] = 1 ¡ P r [ R¹ 1 \ R¹ 2 ] = 1 ¡ P r [ R¹ 1 ] ¢P r [ R¹ 2 ] = 1 ¡ ( 1 ¡ p2 ) ( 1 ¡ p) = p + p2 + p3 05.02.2008 13
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