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Mathematik der Börsenspekulation Optionshandel an der Börse Was sind Optionen? Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht, ã ein festgelegtes Gut (z.B.…
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Mathematik der Börsenspekulation Optionshandel an der Börse Was sind Optionen? Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht, • ein festgelegtes Gut (z.B. eine Aktie) • zu einem festgelegten Preis (dem Ausübungspreis) • in einem festgelegten Zeitraum (amerikanische Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt (europäische Option) zu kaufen. Ablauf eines Call-Optionsgeschäfts Option Verkäufer Käufer Optionspreis Kursentwicklung Ausübung: Käufer kauft das Gut zum Ausübungspreis der Keine Ausübung Option Pay-off-Diagramm beim Kauf einer Call-Option 25 Gewinne/Verluste (€) 15 5 -5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Aktienkurs (€) Herr X kauft für 2,50 € eine Call-Option mit Ausübungspreis 63 €. Die Siemens Aktie Histogramm der Monatsrenditen 20 15 Häufigkeit 10 5 0 m-s m 4,17% m+s -22,61% -15,92% -9,22% -2,53% 10,87% 17,56% 24,26% 30,96% größer und Rendite Den Schwerpunkt der Verteilung gibt das arithmetische Mittel m und die typische Abweichung die Standardabweichung s. Entwicklungsrahmen des zukünftigen Aktienkurs 90,63 € 78,95 € ·1,15 68,77 € 68,80 € (m+s) 59,90 € 59,93 € ·0,87 52,20 € 52,23 € (m-s) 45,50 € 39,65 € Rekursionsschritt Ausübungspreis der Call-Option 60,00 € Ausübungszeitpunkt der Option 68,80 € Eine Periode vorher 8,80 € Ausübung Aktienkurs 59,93 € Optionspreis 4,13 € 52,23 € 0€ Keine Ausübung Die 4,13 € errechnen sich aus den beiden Endpreisen der Option, 8,80 € und 0 €, wenn man fordert, dass es keinen sicheren Gewinn geben kann (Arbitrage). Vom Binomial-Modell zur Black-Scholes-Formel • Mit dem Binomial-Modell lässt sich die Black-Scholes- Formel gewinnen, indem man die Anzahl n der Perioden gegen Unendlich laufen lässt. • Die Black-Scholes-Formel gibt den Optionspreis in Abhängigkeit von: – dem aktuellen Kurswert – der Ausübungsfrist – dem Ausübungspreis – der Volatilität und – dem Zinsfaktor Preise verschiedener Siemens Call-Optionen nach der Black-Scholes-Formel 15,00 1 Monat Optionspreise (€) 10,00 2 Monate 3 Monate 6 Monate 5,00 0,00 48 53 58 63 68 73 78 Ausübungspreis (€) 48 53 58 63 68 73 78 1 Monat 12,14 7,52 3,99 1,72 0,60 0,18 0,04 2 Monate 12,51 8,40 5,16 2,90 1,50 0,72 0,32 3 Monate 12,96 9,13 6,08 3,83 2,30 1,32 6,73 6 Monate 14,30 10,34 8,18 5,99 4,31 3,06 2,14
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