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Kapitel 5 Der Algorithmus  In den vorangeggangenen Kapiteln wurde, aufbauend auf dem Begriff der Information, beschrieben, wie die statischen Objekte der…
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Kapitel 5 Der Algorithmus  In den vorangeggangenen Kapiteln wurde, aufbauend auf dem Begriff der Information, beschrieben, wie die statischen Objekte der Informatik aussehen und notiert werden können. In diesem Kapitel wird aufgezeigt, wie man die Verarbeitung dieser Objekte (also die Dynamik) beschreiben kann. Wesentlicher Begriff dabei ist der Begriff des Algorithmus  Inhalt 1. Ein Beispiel 2. Definition 3. Die Struktelemente 4. Strukturierung 5. Blockung 6. Iteration und Rekursion 7. Aufwand 8. Korrektheit Teile dieses Kapitels sind aus: R.Manthey: Vorlesung Informatik 1, Uni Bonn, 2001 5.1 Ein Beispiel  Zunächst soll ein kleines Beispiel in eine mögliche Aufgabenstellung aus dem (bekannten) Bereich der Mathematik einführen und dadurch auch eine (eingeschränkte) Vorstellung über die Aufgaben und Elemente eines Algorithmuses geben.  Inhalt 1. Das Problem (Beispiel) 2. Ein Algorithmus I 3. Ein Algorithmus II 4. Vergleich der Algorithmen 5. Ein Algorithmus III 6. Fragestellungen 7. Ein weiterer Algorithmus 5.1.1 Das Problem  Eine quadratischen Gleichung: x2 + 8x + 7 = 0  Allgemeine Darstellung der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0  Allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung x = -p/2 + p2/4 - q 1,2 -  Lösung der quadratischen Gleichung x = -8/2 + 82/4 - 7 1,2 - x1 = -1 = -4 + - 3 x2 = -7 5.1.3 Ein Algorithmus I  Ein Algorithmus x1,2= -p/2 +- p2/4 - q Zuweisungen Eingaben Berechnungen 1. Lies die Zahlen p und q ein 2. Berechne die Zahl w = p2/4 - q Konstante 3. Berechne die Zahl x1 = -p/2 + w 4. Berechne die Zahl x2 = -p/2 - w 5. Gib x1 und x2 als Ergebniss aus Ausgaben Variable 5.1.4 Ein Algorithmus II  Ein zweiter Algorithmus x1,2= -p/2 +- p2/4 - q 1. Lies die Zahlen p und q ein 2. Berechne die Zahl p/2; Nenne diese Zahl a 3. Berechne die Zahl a2 ; Nenne diese Zahl b 4. Berechne die Zahl b-q ; Nenne diese Zahl c 5. Berechne die Zahl c ; Nenne diese Zahl d 6. Berechne die Zahl -a ; Nenne diese Zahl e 7. Berechne die Zahl e + d ; Nenne diese Zahl x1 8. Berechne die Zahl e - d ; Nenne diese Zahl x2 9. Gib x1 und x2 als Ergebniss aus FHSymbol1 Es gibt (oft unendlich) viele Algorithmen zur Lösung eines Problems 5.1.5 Vergleich der Algorithmen Berechne die Zahl w = p2/4 - q Berechne die Zahl p/2; Nenne diese Zahl a Berechne die Zahl x1 = -p/2 + w Berechne die Zahl a2 ; Nenne diese Zahl b Berechne die Zahl x2 = -p/2 - w Berechne die Zahl b-q ; Nenne diese Zahl c Berechne die Zahl c ; Nenne diese Zahl d Berechne die Zahl -a ; Nenne diese Zahl e Berechne die Zahl e + d ; Nenne diese Zahl x1 Berechne die Zahl e - d ; Nenne diese Zahl x2 A1 A2 Welcher Anzahl Berechnungen 10 7 FHSymbol1 Algorithmus Anzahl Zuweisungen 3 7 ist besser ? Anzahl Variablen 5 9 Warum ? 5.1.6 Ein Algorithmus III  Problem: Negatives Wurzelargument 1. Lies die Zahlen p und q ein 2. Berechne die Zahl a = p/2 3. Berechne die Zahl b = a2 4. Berechne die Zahl c = b-q 5.a Wenn c negativ ist brich den 5.b Wenn c negativ ist Algorithmus ab gehe zu Schritt 1 Ansonsten mache mit nächstem Schritt weiter 6. Berechne die Zahl d = c Bedingte Schleife Ausführung 7. Berechne die Zahl e = -a 8. Berechne die Zahl x1 = e + d 1 9. Berechne die Zahl x2 = e - d 10. Gib x1 und x2 als Ergebniss aus 5.1.7 Fragestellungen  Wer gibt p und q ein ? 1. Lies die Zahlen p und q ein  Wie wird p und q eingegeben ? 2. Berechne die Zahl a = p/2  Werden p und q in endlicher Zeit 3. Berechne die Zahl b = a2 eingegeben ?  Sind p und q im richtigen Format ? 4. Berechne die Zahl c = b-q  Ist Variable a im richtigen Format ? 6. Berechne die Zahl d = c  Gibt es die Quadrat-Funktion ?  Ist c positiv ? 7. Berechne die Zahl e = -a  Ist Variable e im richtigen Format ? 8. Berechne die Zahl x1 = e + d 1  Sind die restlichen Variablen im richtigen 9. Berechne die Zahl x2 = e - d Format  Reicht die Genauigkeit der Darstellung ? 10. Gib x1 und x2 als Ergebniss aus  Wo wird das Ergebnis ausgegeben ?  Ist ausreichend Variablenkapazität für den Welche offenen Algorithmus vorhanden ?  Läuft der Algorithmus schnell genug ? FHSymbol1 Fragen bestehen  ... noch ? 5.1.8 Ein weiterer Algorithmus 5.2 Definition  Der Begriff des Algorithmus ist zentral in der Informatik und soll in diesem Unterkapitel formal definiert werden  Inhalt 1. Herkunft 2. Der Algorithmus 3. Beispiel: Algorithmenbeweis 4. Weitere Prinzipien 5. Algorithmen und Programme 6. Ausflug: Algorithmus und WinOSe 5.2.1 Herkunft  Muhammad ibn Musa abu Djafar al-Choresmi (ca. 780-850 n.Chr)  arabischer Mathematiker, geboren in Choresmien (heute: Usbekistan)  lebte und wirkte in Bagdad im „Haus der Weisheit“  war beteiligt an der Übersetzung der Werke griechischer Mathematiker ins Arabische  schrieb ein „Kurzgefasstes Lehrbuch für die Berechnung durch Vergleich und Reduktion“  die lateinische Übersetzung dieses Buches („liber algorismi“) kam durch Kreuzfahrer nach Europa  verfasste auch ein Buch mit dem Titel „Al-Mukhtasar fi Hisab al-Jahr va l-Muqabala“ Algorithmus Algebra 5.2.2 Der Algorithmus  Definition: Ein Algorithmus (algorithm) ist die Beschreibung eines Verfahrens, um aus gewissen Eingabegrößen bestimmte Ausgabegrößen zu berechnen. Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein  Spezifikation  Durchführbarkeit  Korrektheit  Verfahren ohne Verständnis des Problemes FHSymbol1 Erwarten Sie nie, dass ein Computer für Sie mitdenkt 5.2.2 Der Algorithmus : Spezifikation  Eingabespezifikation:  Es muss genau spezifiziert sein, welche Eingabegrößen erforderlich sind und welchen Anforderungen diese Größen genügen müssen, damit das Verfahren funktioniert EINGABE Algorithmus  Ausgabespezifikation  Es muss genau spezifiziert sein, welche Ausgabegrößen (Resultate) mit welchen Eigenschaften berechnet werden 5.2.2 Der Algorithmus : Durchführbarkeit  Endliche Beschreibung  das Verfahren muss in einem endlichen Text vollständig beschrieben sein  Effektivität  Jeder Schritt des Verfahrens muss effektiv (d.h. tatsächlich) „mechanisch“ ausführbar sein Bem.: „Effektivität“ ist nicht zu verwechseln mit „Effizienz“ („Wirtschaftlichkeit“)  Determiniertheit  Der Verfahrensablauf ist zu jedem Zeitpunkt fest vorgeschrieben 5.2.2 Der Algorithmus : Korrektheit  partielle Korrektheit  Jedes berechnete Ergebnis genügt der Ausgabespezifikation, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben  Terminierung  Der Algorithmus hält nach endlich vielen Schritten mit einem Ergebnis an, sofern die Eingaben der Eingabespezifikation genügt haben 5.2.2 Der Algorithmus : Zusammenfassung  Definition Ein Algorithmus (algorithm) ist die Beschreibung eines Verfahrens, um aus gewissen Eingabegrößen bestimmte Ausgabegrößen zu berechnen, der gekennzeichnet ist durch: 1. Spezifikation der Ein- und 2. Ausgabegrößen 3. eine endliche Beschreibung des Verfahrens 4. effektive Ausführbarkeit der Verfahrensschritte 5. Determiniertheit der Verfahrensschritte 6. partielle Korrektheit 7. Terminiertheit  Bemerkung:  Algorithmen, die eine oder mehrere dieser Eigenschaften nicht besitzen werden dann als Nicht- Algorithmen bezeichnet.  Bsp: Nicht-Deterministische Algorithmen. 5.2.3 Beispiel: Algorithmenbeweis  In gängiger mathematischer Notation könnte ein Verfahren zur Berechnung der Modulus-Funktion a mod b wie folgt aussehen:  Um festzustellen, ob diese Berechnungsvorschrift einen Algorithmus im Sinne der Definition darstellt, müssen folgende Punkte beachten werden:  Spezifikation  Eingabe  Ausgabe  Durchführbarkeit  Endliche Beschreibung  Effektivität  Determiniertheit  Korrektheit  Partielle Korrektheit  Terminierung 5.2.3 Beispiel: Spezifikation  Lassen sich die möglichen Ein- und Ausgabewerte genau spezifizieren ? 5.2.3 Beispiel: Durchführbarkeit  Ist der Algorithmus durchführbar ? 5.2.3 Beispiel: Korrektheit (partielle)  Ist der Algorithmus korrekt (im Sinne der Spezifikation) 5.2.3 Beispiel: Korrektheit (Terminierung)  Terminiert der Algorithmus ?  Bemerkung: Es gibt kein Verfahren, das zu einem beliebigen Algorithmus angibt, ob er terminiert oder nicht („Halte-Problem“) 5.2.3 Weitere Prinzipien  Neben den in der Definition angegebenen Eigenschaften gibt es weitere wichtige Prinzipien, die bei der Erstellung eines Algorithmuses zu beachten sind:  Effizienz  Der Algorithmus soll möglichst wenig Aufwand verursachen – Das Ergebnis mit möglichst wenig Rechenschritten (oder mit möglichst wenig Speicherbedarf) erzielen  Korrektheit beweisbar?  Ein nicht-korrekter Algorithmus ist nach unserer Definition kein Algorithmus!  Trotzdem sind nicht-korrekte Verfahren eher die Regel als die Ausnahme 5.2.4 Algorithmen und Programme: Der Weg Algorithmierung Programmierung Problem Algorithmus Programm Spezifizieren Verifizieren Testen  gegeben: das Problem  durch Spezifizieren wird das Problem formal beschrieben  Durch Algorithmierung (Algorithmenentwurf) wird ein Algorithmus erzeugt  durch Verifizieren kann der Algorithmus auf Übereinstimmung mit der Spezifikation überprüft werden  Durch Programmieren wird aus den Algorithmus ein Programm erzeugt  durch Testen kann das Programm auf Übereinstimmung mit der Spezifikation und dem Algorithmus überprüft werden. 5.2.4 Algorithmen und Programme: Beziehungen Algorithmierung Programmierung Problem Algorithmus Programm  Programmieren setzt Algorithmenentwicklung voraus  Kein Programm ohne Algorithmus !  Jedes Programm repräsentiert einen bestimmten Algorithmus.  Ein Algorithmus kann durch viele Programme repräsentiert werden. Problem ... Algorithmus1 Algorithmus2 ... Programm21 Programm22 5.2.5 Ausflug: Algorithmus und WinOSe Klassische Windows Programmierung Programmierung OS Eventqueue Algorithmus OS 5.3 Strukturelemente  Um die Dynamik - also die Abfolge von Aktionen - eines Algorithmu- ses zu beschreiben, benötigt man formale Beschreibungsmittel, sowie eine Festlegung, wie diese Beschreibungmittel zu notieren und zu interpretieren sind. Dieses Unterkapitel stellt die formalen Beschreibungsmittel für Algorithmen vor. Diese Beschreibungsmittel sind dabei gleichzeitig Strukturierungselemente für Algorithmen, denn sie definieren die Struktur von Algorithmen.  Inhalt: 1. Die Elemente 2. Folge 3. Auswahl 4. Wiederholung 5.3.1 Die Elemente: Aus dem Beispiel EINGABE  Zuweisungen  Variable  Berechnungen  Texte  Mathematische  Zahlen ... Grundoperationen  Konstanten  komplexe Funktionen (Literale)  ...  Texte  Bedingte Ausführungen  Zahlen ...  Schleife  ... AUSGABE 5.3.1 Die Elemente: Notation  Für die Beschreibung von Algorithmen gibt es viele Möglichkeiten  Alltagssprache  Konkrete Programmiersprache  Dazwischen gibt es eine Vielzahl von Notationen, die den Übergang zwischen Problembeschreibung und Programm erleichtern sollen  Eine mögliche - eindimensionale - Notation ist Pseudocode:  // Dies ist eine Zuweisung x = 42;  Kommentare werden (hier) mit vorangestellten Slashes „//“ gekennzeichnet  Aktionen werden (hier) mit Semikolon „;“ getrennt  Visualisierung durch graphische - zweidimensionale -Notation  Flussdiagramme  Struktogramme (=Nasi-Schneidermann-Diagramme) Aktion Aktion 5.3.1 Die Elemente: atomaren Elemente  Anweisungen sind die atomaren Elemente eines Algorithmus‘, die Elemente also, aus denen ein Algorithmus aufgebaut ist.  Es gibt (zunächst) drei Arten dieser „atomaren“ Elemente  Zuweisung:  Pseudocode X = y;  Auf der linken Seite der Zuweisung steht eine Variable auf der rechten Seite der Zuweisung steht entweder eine Variable, ein Literal oder eine Berechnung aus Varaibelen und Literalen  Eingabe  Pseudocode: x << ;  Als Eingabegerät kann ein geeignetes physikalisches Geraöt (Tastatur, Schnittstelle, ...) angegeben werden.  Ausgabe  Pseudocode: x >> ;  Als Ausgabegerät kann ein geeignetes physikalisches Geraöt (Bildschirm, Drucker, Schnittstelle, ...) angegeben werden  Ein- und Ausgabe können auch als Zuweisung verstanden werden. 5.3.1 Die Elemente: Kontrollelemente  Die atomaren Elemente eines Algorithmuses können durch drei einfache Strukturierungsmethoden, den „Kontrollelementen“, zueinander in Beziehung gesetzt werden: 1. Folge (Sequenz) 2. Auswahl (Selektion, Fallunterscheidung) 3. Wiederholung (Iteration, Schleife)  Die Kontrollelemente bestimmen die Reihenfolge von Aktionen in Algorithmen  Eine Aktion (Ai) - auch Verarbeitung genannt - ist ein atomares Element oder eine durch die Strukturmethoden zusammengefasste Menge mehrerer Aktionen 5.3.2 Folge  Folgen bestimmen die lineare Reihenfolge von Aktionen in Algorithmen:  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode: A1 A1 { A1; A2 .. A2; A2 . ... .. An An; . } An 5.3.3 Auswahl : bedingte Verarbeitung  Eine Aktion wird, in Abhängigkeit einer bool‘schen Bedingung ausgeführt oder nicht  auch „einarmiges if“ genannt.  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode: f B B if B then A1; w f w A1 A1  Beispiel: if (x<0) then x = -x; 5.3.3 Auswahl : einfache Alternative  In Abhängigkeit einer bool‘schen Bedingung wird entweder eine Aktion oder eine andere Aktion ausgeführt  auch „zweiarmiges if“ genannt.  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode w f B B if B then A1 w f else A2; A1 A2 A1 A2  Beispiel: if (x<0) then x:=-x else x=0; 5.3.3 Auswahl : mehrfache Alternative  In Abhängigkeit einer Bedingung (mit mehreren möglichen Werten w1, w2, ..., wn) wird eine Aktion aus einer Menge möglicher Aktionen ausgewählt und ausgeführt  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode B w1 B wn switch B: w1 w2 wn { A1 A2 An case w1: A1; A1 A2 An case w2: A2; ... case wn: An; }  Beispiel: switch x: { case 0: x = x/2; case 1; x = x+1; }  Oft auch mit „else“-Alternative (statt wn) 5.3.4 Schleife: mit vorausgehender Prüfung  Solange eine bool‘sche Bedingung erfüllt ist, wird eine Aktion ausgeführt.  Die Bedingung wird vor der ersten Ausführung der Aktion geprüft  heißt auch: abweisende Schleife (While-Schleife)  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode f while B B B { w A1 A1 } A1  Beispiel: while x < 100 { x = x + 1; } 5.3.4 Schleife: mit nachfolgender Prüfung  Solange bis eine bool‘sche Bedingung erfüllt ist, wird eine Aktion ausgeführt.  Die Bedingung wird (erst) nach der ersten Ausführung der Aktion geprüft  heißt auch: Repeat-Schleife  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode repeat A1 B A1 { A1 f B } until B w  Beispiel: repeat { x = x + 1; } until x > 100 5.3.4 Schleife: Beispiel (abweisende Schleife)  Untersuche ob eine gegebene natürliche Zahl Primzahl ist.  p > 2 ist Primzahl, falls sie durch kein t mit 12) and (p mod 2 != 0)) then { t = 3; // initialize t while ((t*t=p oder p mod t == 0 if (t*t>p) then „p ist Primzahl“ >> Bildschirm; else „p ist keine Primzahö“ >> Bildschrim; } else { „p <= 2 oder p gerade“ >> Bildschirm; } // Primzahl ? 5.3.4 Schleife: Beispiel (Vergleich while  repeat)  Sind diese Schleifen im Ergebnis identisch ? while x < 100 repeat { { x = x + 1; x = x + 1; } } until x > 100  und jetzt ? repeat { x = x + 1; } until x >= 100  Letzer Versuch: if (x <= 100) then { repeat { x = x + 1; } until x >= 100 }  Welche Lösung ist eleganter ?  aber: oft wird eine erstmalige Aktion benötigt, um ein Datum überhaupt überprüfen zu können. 5.3.4 Schleife: Beispiel (Vergleich repeat  while)  Ausdrucken einer Datei repeat { x << Datei; if (x != eof) x >> Drucker; } until x == eof //endoffile  ... das Ganze als while-Schleife ? while (x != eof ) { x << Datei; x >> Drucker; }  Noch‘n Versuch: x << Datei; while (x != eof ) { x >> Drucker; x << Datei; } 5.3.4 Schleife: Beispiel (Schleife mit Zählern)  Sehr häufig werden Schleifen verwendet, deren Bedingung abhängig von Zählerwerten sind.  Die Zählerwerte werden vor Eintritt in die Schleife initialisiert  Die Bedingung prüft den Zählerwert  Im Schleifenkörper wird der Zähler erhöht (increase) oder erniedrigt (decrease)  Vorsicht mit: dem Zählertyp, dem Additionswert, der Bedingung  Algorithmus: // --- Initialisierung ------------------------------ s = 0; i = 1; // Initialisierung des Schleifenzählers // --- Schleife (Berechnet Summe 1..n) ------------- while ( i <= n ) { s = s + i; i = i + 1; // Erhöhung des Schleifenzählers (oft um 1) } 5.2.4 Schleife: Die „For“-Schleife  Da Schleifen mit Zähler sehr häufig auftreten, stellen viele Programmiersprachen ein eigenes sprachliches Mittel dafür zur Verfügung: Die „For“ Schleife  Pseudocode: Beispiel: for var=start_value to end_value for i=1 to 10 { { A; x = x + i; } }  Der Zähler (var) wird pro Schleifendurchlauf implizit um 1 erhöht (Bei manchen Sprachen - z.B. Basic, C, C++ - kann man dies ändern)  Dieser Code ist äquivalent mit folgender Schleife: i = start_value while i <= end_value { A; i = i+1; } 5.3.4 Schleife: Beispiel (Endlosschleife)  Manchmal macht es Sinn, Schleifen endlos laufen zu lassen:  z.B. bei der zyklischen Abprüfung von Systemzuständen (Windows Event-Queue)  manchmal macht das keinen Sinn - passiert aber trotzdem ;-)  Flussdiagramm Struktogramm Pseudocode while true B { A1 A1 } A1  Beispiel: while true { „Druckerpapier ist teuer“ >> Drucker; } 5.4 Strukturierung  Mit Hilfe atomarer Elemente und der Kontrollelemente lassen sich Algorithmen strukturieren. In diesem Kapitel sind einige Begriffe zur Strukturierung erläutert. Insbesondere wird ein weiteres - viertes - Kontrollelement vorgestellt (und auch gleich wieder verworfen)  Inhalt 1. Control Flow 2. Strukturierung durch Sprung 3. Strukturiert-iterative Beschreibungsform 4. Strukturierungstypen 5.4.1 Control Flow  Mithilfe der Kontrollelemente können die „atomaren“ Elemente (Anweisungen) strukturiert werden  Die Anordnung der Anweisungen (als atomare Elemente) eines Algorithmus, die bestimmt, in welcher Reihenfolge Dinge geschehen, heißt  control flow (Steuerungsverlauf, Kontrollfluss) des Algorithmus genannt  Manchmal wird auch der Programmablauf oder Kontrollfaden (thread of control, thread), also die tatsächlich abgespulten Schritte und Anweisungen so bezeichnet 5.4.2 Strukturierung durch Sprung  Bei der Vorstellung der Kontrollelemente wurde (aus hinterhältig, didaktischen) Gründen auf ein viertes Element verzichtet: Der Sprung („Goto“-Anweisung)  Die Konstruktion „fahre fort mit Schritt x“ (goto x) stellt einen solchen Sprung (jump) im Steuerungsverlauf dar  Zur Anwendung von goto werden Schritte mit einer Marke (Label) versehen, um das Ziel des Sprunges zu kennzeichnen  Dies ist die elementarste Form, eine Wiederholung oder sonstige Verzweigung im Ablauf auszudrücken  Dadurch erhalten wir die elementar-iterative Beschreibungsform von Algorithmen, die die Strukturierung mit ein-/mehrfacher Auswahl und Schleifen funktional abdeckt.  Beispiel: while x<100 { 1: if x>0 100 goto 2 x = x+1 x = x+1; } goto 1; 2: ... 5.4.2 Strukturierung durch Sprung  Anwendung von Sprüngen ist sehr gefährlich!  Sprünge strukturieren komplexe Programm nicht ausreichend - der Steuerungsverlauf kann verworren und unübersichtlich sein  Um den Steuerungsverlauf auch bei komplexen Algorithmen übersichtlich zu halten, schränkt man die Sprünge ein:  Schleifen der Flussdiagramme sind höchstens ineinander geschachtelt  Schleifen überkreuzen sich nicht!  Bei gut strukturierten Algorithmen würde man z. B. nur wieder eine geschlossene Schleife oder einen (vorzeitigen) Sprung bedingt durch die Behandlung desTrivialfalls erlauben  Wir sprechen in diesem Fall von strukturierten Sprüngen im Gegensatz zu freien Sprüngen, die prinzipiell beliebige Ziele haben können 5.4.3 Strukturiert-iterative Beschreibungsform  Sprünge können die bestimmte „höhere“ Strukturierungsarten funktional abzubilden. Hier gilt auch der Umkehrschluss  In der strukturiert-iterativen Beschreibungsform kommen Sprünge nur noch implizit bei der Ausführung höherer Iterationsstrukturen vor  Dieses sind Fallunterscheidunge
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