Kapitel 3 Die reellen Zahlen

 Mathematik

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Kapitel 3 Die reellen Zahlen Inhalt 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es? 3.3 Folgen 3.4 Was sind reelle Zahlen? – Teil II 3.5…
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Kapitel 3 Die reellen Zahlen Inhalt 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es? 3.3 Folgen 3.4 Was sind reelle Zahlen? – Teil II 3.5 Ungleichungen und Betrag 3.6 Summen © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 2 3.1 Was sind reelle Zahlen? Eine ausgesprochen schwierige Frage! Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen (von der wir noch nicht wissen, was sie ist) mit R. Wir können natürlich Beispiele von reellen Zahlen angeben: alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind auch reelle Zahlen (d.h. R ist eine Erweiterung von Q) 2, 5, ... sind reelle Zahlen, p ist eine reelle Zahl, ... Aber: Wie kann man alle reellen Zahlen beschreiben??? © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 3 1. Beschreibung der reellen Zahlen Wir werden die reellen Zahlen nicht explizit konstruieren, sondern verschiedene Beschreibungen angeben. 1. Beschreibung: Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade lückenlos aus. Dies ist die elementarste, aber wichtigste Vorstellung. Wir stellen, dass sich an jeder Stelle der Zahlengeraden eine Zahl befindet. Wenn wir mit einem unendlich dünnen Messer die Zahlengerade anschneiden, haben wir eine reelle Zahl getroffen. Mit anderen Worten: Die reelle Zahlengerade hat keine Lücke. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 4 2. Beschreibung durch Dezimalbrüche Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche. Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein. Endliche (abbrechende) Dezimalbrüche sind zum Beispiel 3,14; 2458493; 56568439,35. Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ab einer gewissen Stelle eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24,9 456 456 456... Wir notieren dies wie üblich auch so: 24,9 456 . Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist einer, der keine Periode hat. Zum Beispiel sind 2 und p keine periodischen Dezimalbrüche. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 5 Weitere Beschreibungen Wir werden weitere Beschreibungen der reellen Zahlen angeben: als Grenzwerte von Folgen, durch „Dedekindsche Schnitte“ und durch die Supremumseigenschaft. Dazu brauchen wir aber noch einige Vorbereitungen. Bereits jetzt könne wir aber beweisen, dass es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt! © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 6 3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es? Wir wissen: die Mengen Z und Q sind gleichmächtig zu N sind. Ist auch R gleichmächtig zu N? Oder besitzt R wesentlich mehr Elemente als N? Es ist eine der großen Leistungen von Georg Cantor (1845 - 1918), des Erfinders der Mengentheorie, bewiesen zu haben, dass R wesentlich mehr Elemente wie N enthält: Es gibt keine Möglichkeit, die reellen Zahlen zu nummerieren! Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich) mit dem Symbol [0, 1). Man nennt dies ein „haboffenes Intervall“; dazu später. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 7 Überabzählbarkeit von R 3.2.1 Satz (Cantor). Es gibt keine bijektive Abbildung von N auf [0,1). Das heißt: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind nicht abzählbar. Erst recht ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar! Beweis. („Cantorsches Diagonalverfahren“) Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass sich die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 abzählen lassen. Es gibt also eine erste reelle Zahl r1, eine zweite r2, eine dritte r3, usw. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 8 Erster Trick Erster Trick: Wir schreiben die Zahlen zwischen 0 und 1 in dieser Reihenfolge als Dezimalbrüche auf! r1 = 0, a11 a12 a13 a14 a15 a16 ... r2 = 0, a21 a22 a23 a24 a25 a26 ... r3 = 0, a31 a32 a33 a34 a35 a36 ... r4 = 0, a41 a42 a43 a44 a45 a46 ... r5 = 0, a51 a52 a53 a54 a55 a56 ... ... Beispiel: Wenn r1 = 0, 0925378929 ist, so ist a11 = 0, a12 = 9, a13 = 2 usw. Die vierte Nachkommastelle von r7 wird mit a74 bezeichnet. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 9 Zweiter Trick Zweiter Trick (genial!): Wir konstruieren eine reelle Zahl t zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Liste vorkommt! Dies ist ein Widerspruch, denn die obige Liste soll ja alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten. Konstruktion von t: Die Zahl t hat eine Null vor dem Komma und nach dem Komma die Stellen b1, b2, b3, ... Für die Ziffer b1 ist nur verboten, dass sie gleich a11 ist. Also unterscheidet sich t wenigstens an der ersten Nachkommastelle von r1. Somit ist sicher t  r1. Die Ziffer b2 darf nicht gleich a22 sein. Daher unterscheidet sich t jedenfalls an der zweiten Nachkommastelle von r2; somit ist t  r2. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 10 Der Widerspruch Und so weiter: Die Ziffer bi wird so gewählt, dass bi  aii ist. Dann unterscheidet sich t an der i-ten Stelle von ri, also ist t  ri. So erhalten wir eine reelle Zahl t = 0, b1 b2 b3 ... zwischen 0 und 1. Behauptung: Die Zahl t steht nicht in obiger Liste! Warum? Wenn t auf der Liste wäre, müsste t gleich einer Zahl ri sein. Wir haben aber schon gesehen, dass dies (wegen bi  aii) nicht der Fall sein kann. Widerspruch! Dieser Widerspruch kommt von der Annahme her. Also ist die Annahme falsch. Daher ist die Menge [0, 1) nicht abzählbar.  © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 11 Folgerungen Definition: Eine unendliche Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Wenn eine Menge überabzählbar ist, hat sie also eine höhere Stufe der Unendlichkeit als eine abzählbare Menge. 3.2.2 Folgerung. Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar. 3.2.3 Folgerung. Es gibt unendlich viele, sogar überabzählbar viele irrationale Zahlen! Beweis. Wenn die Menge der irrationalen Zahlen abzählbar wäre, dann wäre auch R abzählbar, denn die Vereinigung von zwei abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar: Widerspruch! Also muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein.  © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 12 3.3 Folgen Definition: Eine Folge reeller Zahlen ist eine (unendliche) Folge a1, a2, a3, ... von reellen Zahlen ai. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5, ... 1, 1, 1, 1, 1, 1, ... 1 –1, 1, –1, 1, –1, 1, ... 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 3, 1, 4, 1, 5, 9, ... © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 13 Schreibweisen für Folgen Für die Folge a1, a2, a3, ... schreiben wir auch (an) oder (an)nN. Beispiele: (n)nN, (1)nN, ((–1)n+1)nN (1/n)nN. Eine Folge muss nicht mit der Nummer 1 beginnen; auch (an)n  5 ist eine Folge. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 14 Schreibweise Die einzige Regel: Für jedes n muss klar sein, was an ist! Eine Folge kann durch eine Formel angegeben werden. Man kann aber auch zwei (oder mehrere) Formeln verwenden: an = 1, falls n ungerade ist an = –n, falls n gerade ist. Man kann eine Folge aber auch verbal beschreiben: an ist n2, falls n eine Primzahl ist; sonst ist an = 1, es sei denn n = 2005; in diesem Fall ist an gleich der Anzahl der Hörer der WGMS IV. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 15 Konvergente Folgen: Die Vorstellung Wichtig und zentral für die Analysis ist der Konvergenzbegriff. Vorstellung: Eine Folge konvergiert, wenn die Folgenglieder einer gewissen Zahl (dem „Grenzwert“) beliebig nahe kommen. Diese intuitive Vorstellung wollen wir präzisieren. Beispiele: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... konvergent  1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, ... nicht konvergent  1000, 100.000, 1.000.000, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... konvergent  1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6, 1, 1/7, ... nicht konvergent  1, –1/2, 1/4, –1/8, 1/16, –1/32, ... konvergent  © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 16 Konvergente Folgen: Beschreibungen Was bedeutet „konvergent“? Wir beschreiben dieses Phänomen in sechs Schritten mit zunehmender mathematischer Präzision. Sei (an) eine Folge und a eine reelle Zahl. 0. Beschreibung. Eine Folge von Punkten der Zahlengerade nähert sich „immer mehr“ einem Punkt. 1. Beschreibung. Eine Folge konvergiert, wenn sie einen „Grenzwert“ hat. 2. Beschreibung. Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die Folgenglieder an mit wachsendem n der Zahl a immer näher kommen. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 17 Definition 3. Beschreibung. Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn in jeder noch so kleinen „Umgebung“ von a fast alle Folgenglieder an liegen. 4. Beschreibung (und schon fast die formale Definition): Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn für jedes (noch so kleine) e > 0 ab einer gewissen Nummer N alle Folgenglieder höchsten den Abstand e von a haben. 5. Beschreibung (die formale Definition): Die Folge (an) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl e > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder an mit n  N die Ungleichung an–a < e gilt. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 18 Beispiele (a) Die Folge (1/n) konvergiert und hat den Grenzwert a = 0. Denn für alle e > 0 existiert ein N mit 1/N < e. Dann gilt 1/N – 0 = 1/N – 0 = 1/N < e Erst recht gilt dann für alle n  N: 1/n – 0 = 1/n – 0 = 1/n < 1/N < e. (b) Die Folge ((n–1)/n) konvergiert und hat den Grenzwert 1. Denn sei e > 0 beliebig. Dann existiert ein N mit 1/N < e. Also ist (N–1)/N – 1 = –1/N = 1/N = 1/N < e. Dann gilt auch für alle n  N: (n–1)/n – 1 = –1/n = 1/n = 1/n  1/N < e. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 19 Wann konvergiert eine Folge nicht? Auch das werden wir auf verschiedenen Sprachebenen beschreiben. 1. Beschreibung: Eine Folge konvergiert nicht, wenn sie keinen Grenzwert hat. 2. Beschreibung: Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es keine reelle Zahl gibt, der die Folgenglieder an mit wachsendem n immer näher kommen. 3. Beschreibung: Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es für jede Zahl a eine kleine „Umgebung“ von a gibt, so dass außerhalb unendlich viele Folgenglieder an liegen. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 20 Formale Beschreibung 4. Beschreibung: Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es für jede reelle Zahl a ein e > 0 gibt, so dass unendlich viele Folgenglieder an außerhalb der e-Umgebung von a liegen. 5. Beschreibung (formal): Die Folge (an) konvergiert nicht, wenn es für alle reellen Zahlen a ein e > 0 gibt, so dass für jede Nummer N gilt: Es gibt ein Folgenglied an mit n  N, für das die Ungleichung an–a > e gilt. Wenn eine Folge nicht konvergiert, sagt man auch, sie divergiert. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 21 Beispiele (a) Die Folge 1, 2, 3, 4, 5, ... divergiert (konvergiert nicht). Denn wir wählen e = 1. Dann haben für jede reelle Zahl a unendlich viele Folgenglieder einen Abstand größer als e (= 1) von a. Dies sind alle Folgenglieder, die größer als a+1 oder kleiner als a–1 sind. (b) Die Folge 1, –1, 1, –1, 1, ... konvergiert nicht. Denn wir wählen e = 1/4. Dann haben für jede reelle Zahl a die Folgenglieder 1 oder die Folgenglieder –1 einen Abstand > 1/4. Also kann keine Zahl a ein Grenzwert dieser Folge sein. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 22 Cauchy-Folge Frage: Kann man die Konvergenz einer Folge auch erkennen, wenn man den Grenzwert nicht kennt? Definition. Sei (an) eine Folge. Man sagt, dass (an) eine Cauchy- Folge ist bzw. dass die Verdichtungseigenschaft gilt, wenn es für jedes (noch so kleine) e > 0 eine Nummer N so gibt, dass für alle Folgenglieder an und am mit n, m  N die Ungleichung an–an < e gilt. (A.-L. Cauchy, franz.Mathematiker, 1789 – 1857) Vorstellung: „Späte Glieder“ der Folge kommen sich immer näher. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 23 Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen 3.3.1 Satz. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Beweis. Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Idee: Da sich späte Glieder der Folge immer weniger vom Grenzwert unterscheiden, können sich diese Glieder auch untereinander nicht stark unterscheiden. Genauer gesagt: Der Abstand zweier Folgenglieder an, am kann höchstens doppelt so groß sein wie der Abstand von an bzw. am von a. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 24 Beweis Dies beschreiben wir nun genauer: Sei e eine beliebige reelle Zahl > 0. Wir wenden die Definition der Konvergenz von (an) auf e/2 an. Dann gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder an mit n  N die Ungleichung an–a < e/2 gilt. Seien nun n,m  N. Dann gilt: an–am  an–a + a–am < e/2 + e/2 = e. Also gilt die Verdichtungseigenschaft. Somit ist (an) eine Cauchy- Folge.  © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 25 Vollständigkeit von R Mit Cauchy-Folgen kann man nicht nur konvergente Folgen beschreiben, deren Grenzwert man nicht kennt, sondern auch solche, von denen es den Grenzwert – bislang – gar nicht gibt. Man kann die reellen Zahlen auch so einführen, dass man fordert, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man spricht von der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Dies soll im folgenden geschehen. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 26 3.4 Was sind reelle Zahlen II Wir werden jetzt noch drei mathematische Beschreibungen der entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen angeben. Alle drei Beschreibungen sind mathematisch gleichwertig, aber aus begrifflicher sicht unterschiedlich schwierig zu verstehen. Wir fordern drei verschiedene Dinge von den reellen Zahlen: Man soll wie gewohnt mit ihnen rechnen können, sie sollen sinnvoll bezüglich < geordnet sein und sie sollen „lückenlos“ sein. Grundforderung: Die reellen Zahlen sollen mit + und  einen Körper bilden. Das heißt: Man kann mit + und  wie üblich rechnen. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 27 Vollständigkeit 3. Beschreibung: Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig. Das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in R konvergiert. Die Bedeutung dieses Axioms ist für uns im Augenblick noch kaum abschätzbar. Tatsache ist, dass die Analysis ohne dieses (oder ein äquivalentes) Axiom nicht funktionieren würde. Damit sind nicht nur die Grenzwerte der konvergenten Folgen reelle Zahlen, sondern umgekehrt: Wir fordern, dass jede Folge, die konvergieren könnte (Cauchy-Folge) auch tatsächlich konvergiert! Mit anderen Worten: Die meisten reellen Zahlen existieren (zunächst) nur als Grenzwerte von Cauchy-Folgen. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 28 Anordnung Auf R gibt es eine Relation < mit folgenden Eigenschaften: – Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt a < b, a = b oder a > b. – Wenn für drei reelle Zahlen a, b und c gilt a < b und b < c, so gilt auch a < c. (Transitivität von „<“.) – Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Dann gilt für jede reelle Zahl r: a + r < b + r – Ferner gilt für jede positive reelle Zahl r: ar < br. – Für jede negative reelle Zahl r gilt: ar > br. (Monotoniegesetze für Addition und Multiplikation) © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 29 Dedekindscher Schnitt Durch jede reelle Zahl s kann man die Menge R in „zwei Hälften“ A und B zerschneiden. Dazu definieren wir A = {r  R  r < s} und B = {r  R  r  s}. Dann haben die Mengen A und B folgende Eigenschaften:   A und B sind nicht leer.   A  B = R.   Für alle a  A und alle b  B gilt a < b. Jedes Paar A, B von Mengen reeller Zahlen mit diesen Eigenschaften heißt ein Schnitt (auch: Dedekindscher Schnitt); Richard Dedekind (1831 - 1916). © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 30 Beispiel Bei einem Schnitt, der so konstruiert ist, heißt s die Trennungszahl. Beispiel: Im Falle s = 2 geben wir einige Elemente von A und B an: –10; 1; 1,3; 1,4; 1,41  A, 1,42; 1,415  B. Ein Schnitt hat praktische Konsequenzen: Jede Zahl, die in A oder B liegt, ist eine untere bzw. obere Abschätzung der Zahl s. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 31 Schnittaxiom 4. Beschreibung: Jeder Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl. Das heißt: Wenn immer wir nichtleere Mengen A und B finden, die zusammen alle reellen Zahlen enthalten und die Eigenschaft haben, dass jedes Element aus A kleiner ist als jedes Element aus B, dann gibt es eine reelle Zahl s, so dass A und B durch Trennung der Menge der reellen Zahlen an der Schnittzahl s entstehen! Das Schnittaxiom ist die mathematisch präzise Formulierung der anschaulichen Vorstellung, dass an jeder Stelle („wo immer man durchschneidet“) der Zahlengerade eine reelle Zahl liegt. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 32 Obere Schranke Definition. Sei M eine Menge reeller Zahlen. Eine reelle Zahl a heißt eine obere Schranke von M, falls gilt a  m für alle m  M. M heißt nach oben beschränkt, falls M eine obere Schranke hat. Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3, ...} ist nach oben beschränkt; obere Schranken sind z.B. 1, 5, 10000000 usw. (b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach oben beschränkt. Ebenso sind Z, R, Q nicht nach oben beschränkt. (c) Jede endliche Menge M ist nach oben beschränkt: Das größte Element (Maximum) von M ist eine obere Schranke. (Achtung: unendliche Mengen haben meist kein größtes Element!) © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 33 Untere Schranke Definition. Eine reelle Zahl a heißt eine untere Schranke von M, falls gilt a  m für alle m  M. Die Menge M heißt nach unten beschränkt, falls M eine untere Schranke besitzt. Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3, ...} ist nach unten beschränkt; untere Schranken sind zum Beispiel 0, –1, –1000 usw. (b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3, ...} ist nicht nach unten beschränkt. Aber Z, R, Q sind nicht nach unten beschränkt. (c) Jede endliche Menge ist nach unten beschränkt: Das kleinste Element (Minimum) von M ist eine untere Schranke. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 34 Supremum Es ist keine Kunst, große obere Schranken zu finden; die Kunst ist, möglichst kleine obere Schranken zu finden. Definition. Eine reelle Zahl s heißt kleinste obere Schranke (Supremum) von M, falls (1) s eine obere Schranke von M ist, und (2) s die kleinste obere Schranke von M ist. Die Bedingung (2) heißt, dass keine Zahl s' < s eine obere Schranke von M ist. Technisch ausgedrückt: Für jede reelle Zahl s' < s gibt es ein m  M mit s' < m. (Das Element m ist ein „Zeuge“ dafür, dass s' keine obere Schranke ist.) Wir schreiben auch s = sup(M). © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 35 Beispiel Das Supremum der Menge M = {9/10, 99/100, 999/1000, ...} ist 1. Denn (1) ist 1 eine obere Schranke von M. Zum Nachweis der Bedingung (2) betrachten wir eine beliebige reelle Zahl s' < 1. Dann gibt es immer ein Element m der Menge M mit s' < m. Bemerkung. sup(M) muss nicht in der Menge M liegen. Wenn s = sup(M) in M liegt, nennt man das Element s auch das Maximum von M. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 36 Infimum Definition. Wir nennen eine reelle Zahl s größte untere Schranke (Infimum) von M, falls (1) s eine untere Schranke von M ist, und (2) s die größte untere Schranke von M ist. Die Bedingung (2) bedeutet, dass keine Zahl s' > s eine untere Schranke von M ist. Das heißt : Für jede reelle Zahl s' > s gibt es ein m  M mit s' > m. (Das Element m ist ein „Zeuge“ dafür, dass s' keine untere Schranke ist.) Wir schreiben auch s = inf(M). © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 37 Supremumsprinzip Klar: Eine nach oben unbeschränkte Menge hat kein Supremum. (Denn eine solche Menge hat keine obere Schranke, erst recht keine kleinste obere Schranke.) Das Supremumsprinzip sagt, dass ansonsten jede Menge ein Supremum hat. 5. Beschreibung. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes Supremum. Entsprechend gilt auch Infimumsprinzip. Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Infimum. © Beutelspacher Kapitel 3: Die reellen Zahlen Mai 2005 Seite 38 Satz de
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