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 Datenstruktur

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Hashing Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 14 Prof. Dr. Thomas Ottmann Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für Informatik…
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Hashing Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 14 Prof. Dr. Thomas Ottmann Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für Informatik Fakultät für Angewandte Wissenschaften Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Das Wörterbuch-Problem (1) Das Wörterbuch-Problem (WBP) kann wie folgt beschrieben werden: Gegeben: Menge von Objekten (Daten) die über einen eindeutigen Schlüssel (ganze Zahl, String, . . . ) identifizierbar sind. Gesucht: Struktur zu Speicherung der Objektmenge, so dass mindestens die folgenden Operationen (Methoden) effizient ausführbar sind: • Suchen (Wiederfinden, Zugreifen) • Einfügen • Entfernen Bedingungen, die die Wahl einer Lösung des WBP beeinflussen: – Ort, wo die Daten gespeichert sind (Hauptspeicher, Platte, Band, CD,…) – Art- und Häufigkeit der auszuführenden Operationen Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 2 Das Wörterbuch-Problem (2) Häufigkeit der Operationen: – überwiegend Einfügen & Löschen (dynamisches Verhalten) – überwiegend Suchen (statisches Verhalten) – annähernd Gleichverteilung – nichts bekannt Weitere zu implementierende Operationen: – Durchlaufen der Menge in bestimmter Reihenfolge (etwa nach Schlüsselwert aufsteigend) – Mengen-Operationen: Vereinigung, Durchschnitt, Differenz, . . . – Aufspalten – Konstruieren Kostenmaße zur Beurteilung der Lösung: average, worst, amortisierter worst case Ausführungsreihenfolge der Operationen: – sequentiell – nebenläufig Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 3 Das Wörterbuch-Problem (3) Verschiedene Ansätze zur Lösung des WBP: Aufteilung des gesamten Schlüssel-Universums: Hashing Strukturierung der aktuellen Schlüsselmange: Listen, Bäume, Graphen, ... Hashing (engl.: to hash=zerhacken) beschreibt eine spezielle Art der Speicherung der Elemente einer Menge durch Zerlegung des Schlüssel-Universums. Die Position des Daten-Elements im Speicher ergibt sich (zunächst) durch Berechnung direkt aus dem Schlüssel. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 4 Hashverfahren Annahme: Daten sind über einen ganzzahligen Schlüssel eindeutig identifizierbar. Suchen, Einfügen, Entfernen von Datensätzen (Schlüsseln) soll unterstützt werden. Ort des Datensatzes d: Berechnung aus dem Schlüssel s von d  keine Vergleiche  konstante Zeit Datenstruktur: lineares Feld (Array) der Größe m Hashtabelle Schlüssel s 0 1 2 i m-2 m-1 …………. …………. Der Speicher wird zerlegt in m gleich große Behälter (Buckets). Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 5 Implementierung in Java class TableEntry { private Object key,value; } abstract class HashTable { private TableEntry[] tableEntry; private int capacity; //Konstruktor HashTable (int capacity) { this.capacity = capacity; tableEntry = new TableEntry [capacity]; for (int i = 0; i <= capacity-1; i++) tableEntry[i] = null; } // die Hashfunktion protected abstract int h (Object key); /* fuege Element mit Schluessel key und Wert value ein (falls nicht vorhanden) */ public abstract void insert (Object key Object value); // entferne Element mit Schluessel key (falls vorhanden) public abstract void delete (Object key); // suche Element mit Schluessel key public abstract Object search (Object key); } // class hashTable Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 6 Hashverfahren - Probleme Größe der Hashtabelle Nur eine kleine Teilmenge S aller möglichen Schlüssel (des Universums) U kommt vor Berechnung der Adresse eines Datensätzen - Schlüssel sind keine ganzen Zahlen - Index hängt von der Größe der Hashtabelle ab In Java: public class Object { ... public int hashCode() {…} ... } Das Universum U sollte möglichst gleichmäßig auf die Zahlen -231,…,231-1 verteilt werden Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 7 Hashfunktion (1) Schlüsselmenge S Hashfunktion h Univer- sum U aller 0,…,m-1 mög- lichen Schlüs- sel Hashtabelle T (H(U)  [231,231  1]) h(s) = Hashadresse h(s) = h(s´)  s und s´ sind Synonyme bzgl. h Adresskollision Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 8 Hashfunktion (2) Definition: Sei U ein Universum möglicher Schlüssel und {B0, . . . ,Bm-1} eine Menge von m Behältern zum Speichern von Elementen aus U: Dann ist eine Hash-Funktion eine totale Abbildung h : U  {0, . . . ,m - 1} , die jedem Schlüssel s aus U eine Nummer h(s) (und dem entsprechenden Element den Behälter Bh(s) ) zuordnet. Die Behälter-Nummern nennt man auch Hash-Adressen, die Gesamtmenge der Behälter Hash-Tabelle. B0 B1 … … Bm-1 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 9 Adresskollisionen Eine Hashfunktion h berechnet für jeden Schlüssel s die Nummer des Buckets. Ideal wäre eine eindeutige Speicher-Zuordnung eines Datums mit Schlüssel s zum Bucket mit Nummer h(s): Einfügen und Suchen könnten dann in konstanter Zeit (O(1)) erfolgen. Tatsächlich treten natürlich Kollisionen auf: Mehrere Elemente können auf die gleiche Hash-Adresse abgebildet werden. Kollisionen müssen (auf eine von verschiedenen Arten) behandelt werden. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 10 Hashverfahren Beispiel für U: alle Namen in Java mit Länge ≤ 40  |U | = 6240 Falls |U | > m : Adresskollisionen unvermeidlich Hashverfahren: 1. Wahl einer möglichst „guten“ Hash-Funktion 2. Strategie zur Auflösung von Adresskollisionen Belegungsfaktor  : # gespeicher te Schlüssel S n     Größe der Hash - Tabelle m m Annahme: Tabellengröße m ist fest Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 11 Anforderungen an gute Hashfunktionen Eine Kollision tritt dann auf, wenn bei Einfügen eines Elementes mit Schlüssel s der Bucket Bh(s) schon belegt ist. Eine Hash-Funktion h heißt perfekt für eine Menge von Schlüsseln S, falls keine Kollisionen für S auftreten. Ist h perfekt und |S| = n, dann gilt: n ≤ m. Der Belegungsfaktor (BF) der Hash-Tabelle ist n/m ≤ 1. Eine Hash-Funktion ist gut gewählt, wenn – der Belegungsfaktor möglichst hoch ist, – für viele Schlüssel-Mengen die # der Kollisionen möglichst klein ist, – sie effizient zu berechnen ist. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 12 Beispiel einer Hashfunktion Beispiel: Hash-Funktion für Strings public static int h (String s){ int k = 0, m = 13; for (int i=0; i < s.length(); i++) k += (int)s.charAt (i); return ( k%m ); } Folgende Hash-Adressen werden generiert für m = 13. Schlüssel s h(s) Test 0 Hallo 2 SE 9 Algo 10 h wird perfekter, je größer m gewählt wird. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 13 Kollisionswahrscheinlichkeit (1) Zur Wahl der Hash-Funktion Die Anforderungen hoher Belegungsfaktor und Kollisionsfreiheit stehen in Konflikt zueinander. Es ist ein geeigneter Kompromiss zu finden. Für die Schlüssel-Menge S mit |S| = n und Behälter B0, . . . , Bm-1 gilt: – für n > m sind Konflikte unausweichlich – für n < m gibt es eine (Rest-) Wahrscheinlichkeit PK(n,m) für das Auftreten mindestens einer Kollision. Wie findet man Abschätzung für PK(n,m)? Für beliebigen Schlüssel s ist die W’keit dafür, dass h(s) = j mit j  {0, . . . ,m - 1}: PK [h(s) = j ] = 1/m, falls Gleichverteilung gilt. Es ist PK(n,m) = 1 - P¬K(n,m), wenn P¬K(n,m) die W’keit dafür ist, dass es beim Speichern von n Elementen in m Behälter zu keinen Kollisionen kommt. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 14 Kollisionswahrscheinlichkeit (2) Zur Wahrscheinlichkeit von Kollisionen Werden n Schlüssel nacheinander auf die Behälter B0, . . . , Bm-1 verteilt (bei Gleichverteilung), gilt jedes mal P [h(s) = j ] = 1/m. Die W’keit P(i) für keine Kollision im Schritt i ist P(i) = (m - (i - 1))/m Damit ist m(m  1)...(m  n  1) PK(n, m)  1  P(1) * P(2) * ... * P(n)  1  mn Für m = 365 etwa ist P(23) > 50% und P(50)  97% (Geburtstagsparadoxon) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 15 Gebräuchliche Hashfunktionen In der Praxis verwendete Hash-Funktionen: Siehe: D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Für U = integer wird die Divisions-Rest-Methode verwandt: h(s) = (a × s) mod m (a  0, a  m, m Primzahl) Für Zeichenreihen der Form s = s0s1 . . . sk-1 nimmt man etwa:   k 1 i  w h(s)     B si  mod 2  mod m   i 0   etwa mit B = 131 und w = Wortbreite des Rechners (w = 32 oder w = 64 ist üblich). Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 16 Einfache Hashfunktion Wahl der Hash-Funktion - leichte und schnelle Berechenbarkeit - gleichmäßige Verteilung der Daten (Beispiel: Compiler) (Einfache) Divisions-Rest-Methode h(k) = k mod m Wahl von m? Beispiele: a) m gerade  h(k) gerade  k gerade Problematisch, wenn letztes Bit Sachverhalt ausdrückt (z.B. 0 = weiblich, 1 = männlich) b) m = 2p liefert p niedrigsten Dualziffern von k Regel: Wähle m prim, wobei m keine Zahl ri +- j teilt, wobei i und j kleine, nichtnegative Zahlen und r Radix der Darstellung sind. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 17 Multiplikative Methode Wähle eine irrationale Zahl  Berechne h(k) = [m (k mod 1) ] Berechnung von h(k) : k 0  , r0 r1 p Bits = h(k) Wahl von m unkritisch, wähle m = 2p Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 18 Universelles Hashing Idee : Wähle Hashfunktion h zufällig aus einer sorgfältig definierten endlichen Menge H von Hashfunktionen, und zwar so dass für eine zufällig gewählte Funktion h  H gilt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass h für zwei beliebige Elemente x und y aus dem Universum U eine Adresskollision verursacht, ist 1/m, m = Größe der Hashtabelle. Beispiel für eine universelle Klasse von Hashfunktionen: |U| = p mit Primzahl p und |U| = {0,…,p-1} Seien a  {1,…,p-1} und b  {0,…,p-1} und ha,b : U  {0,…,m-1} wie folgt definiert ha,b = ((ax+b)mod p) mod m Folgerung: Die Menge H = {ha,b | 1 ≤ a ≤ p,0 ≤ b ≤ p} ist eine universelle Klasse von Hashfunktionen. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 19 Möglichkeiten der Kollisionsbehandlung Die Behandlung von Kollisionen erfolgt bei verschiedenen Verfahren unterschiedlich. Ein Datensatz mit Schlüssel s ist ein Überläufer, wenn der Behälter h(s) schon durch einen anderen Satz belegt ist. Wie kann mit Überläufern verfahren werden? 1. Behälter werden durch verkettete Listen realisiert. Überläufer werden in diesen Listen abgespeichert. Chaining (Hashing mit Verkettung der Überläufer) 2. Überläufer werden in noch freien anderen Behältern abgespeichert. Diese werden beim Speichern und Suchen durch sogenanntes Sondieren gefunden. Open Addressing (Offene Hashverfahren) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 20 Verkettung der Überläufer (1) Die Hash-Tabelle ist ein Array (Länge m) von Listen. Jeder Behälter wird durch eine Liste realisiert. class hashTable { Liste [] ht; // ein Listen-Array hashTable (int m){ // Konstruktor ht = new Liste[m]; for (int i = 0; i < m; i++) ht[i] = new Liste(); // Listen-Erzeugung } ... } Zwei verschiedene Möglichkeiten der Listen-Anlage: 1. Hash-Tabelle enthält nur Listen-Köpfe, Datensätze sind in Listen: Direkte Verkettung 2. Hash-Tabelle enthält pro Behälter maximal einen Datensatz sowie einen Listen-Kopf. Überläufer kommen in die Liste: Separate Verkettung Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 21 Hashing mit Verkettung der Überläufer Schlüssel werden in Überlauflisten gespeichert h(k) = k mod 7 0 1 2 3 4 5 6 Haschtabelle T Zeiger 15 2 53 12 43 5 Überläufer 19 Diese Art der Verkettung wird auch als direkte Verkettung bezeichnet. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 22 Verkettung der Überläufer Suchen nach Schlüssel k - Berechne h(k) und Überlaufliste T[h(k)] - Suche nach k in der Überlaufliste Einfügen eines Schlüssels k - Suchen nach k (erfolglos) - Einfügen in die Überlaufliste Entfernen eines Schlüssels k - Suchen nach k (erfolgreich) - Entfernen aus Überlaufliste  Reine Listenoperationen Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 23 Analyse der direkten Verkettung Uniform-Hashing Annahme: alle Hashadressen werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt, d.h.: Pr(h(ki) = j) = 1/m unabhängig von Operation zu Operation Mittlere Kettenlänge bei n Einträgen: n/m =  Definition C´n = Erwartungswert für die Anzahl betrachteter Einträge bei erfolgloser Suche Cn = Erwartungswert für die Anzahl betrachteter Einträge bei erfolgreicher Suche Analyse C´n    Cn  1  2 Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 24 Verkettung der Überläufer Vorteile: + Cn und C´n niedrig +  > 1 möglich + echte Entfernungen + für Sekundärspeicher geeignet Effizienz der Suche  Cn (erfolgreich) C´n (erfolglos) 0.50 1.250 0.50 0.90 1.450 0.90 0.95 1.457 0.95 1.00 1.500 1.00 2.00 2.000 2.00 3.00 2.500 3.00 Nachteile - Zusätzlicher Speicherplatz für Zeiger - Überläufer außerhalb der Hashtabelle Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 25 Analyse Hashing mit Verkettung worst case: h(s) liefert immer den gleichen Wert, alle Datensätze sind in einer Liste. Verhalten wie bei Linearer Liste. average case: – Erfolgreiche Suche & Entfernen: Aufwand in Datenzugriffen  1 + 0.5 × BF – Erfolglose Suche & Einfügen: Aufwand  BF Das gilt für direkte Verkettung, bei separater Verkettung ist der Aufwand jeweils etwas höher. best case: Die Suche hat sofort Erfolg. Aufwand  O(1). Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 26 Offene Hashverfahren Idee: Unterbringung der Überläufer an freien (“offenen”) Plätzen in Hashtabelle Falls T[h(k)] belegt, suche anderen Platz für k nach fester Regel Beispiel: Betrachte Eintrag mit nächst kleinerem Index: (h(k) - 1) mod m Allgemeiner: Betrachte die Folge (h(k) - j) mod m j = 0,…,m-1 0 1 h(k) m-2 m-1 … ..... .…. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 27 Sondierungsfolgen Noch allgemeiner: Betrachte Sondierungsfolge (h(k) – s(j,k)) mod m j = 0,...,m-1, für eine gegebene Funktion s(j,k) Beispiele für die Funktion s(j,k) = j (lineares Sondieren) s(j,k) = (-1)j * j/22 (quadratisches Sondieren) s(j,k) = j * h´(k) (Double Hashing) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 28 Sondierungsfolgen Eigenschaften von s(j,k) Folge (h(k) – s(0,k)) mod m, (h(k) – s(1,k)) mod m, (h(k) – s(m-2,k)) mod m, (h(k) – s(m-1,k)) mod m sollte eine Permutation von 0,...,m-1 liefern. Beispiel: Quadratisches Sondieren Kritisch: Entfernen von Sätzen  als entfernt markieren 0 1 2 3 4 5 6 h(11) = 4 s(j,k) = -1,1,-4,4,-9,9 (Einfügen von 4, 18, 25, Löschen 4, Suche 18, 25) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 29 Offene Hashverfahren class OpenHashTable extends HashTable { // in HashTable: TableEntry [] T; private int [] tag; static final int EMPTY = 0; // Frei static final int OCCUPIED = 1; // Belegt static final int DELETED = 2; // Entfernt // Konstruktor OpenHashTable (int capacity) { super(capacity); tag = new int [capacity]; for (int i = 0; i < capacity; i++) { tag[i] = EMPTY; } } // Die Hashfunktion protected int h (Object key) {...} // Funktion s für Sondierungsfolge protected int s (int j, Object key) { // quadratisches Sondieren if (j % 2 == 0) return ((j + 1) / 2) * ((j + 1) / 2); else return -((j + 1) / 2) * ((j + 1) / 2); } Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 30 Offene Hashverfahren - Suchen public int searchIndex (Object key) { /* sucht in der Hashtabelle nach Eintrag mit Schluessel key und liefert den zugehoerigen Index oder -1 zurueck */ int i = h(key); int j = 1; // naechster Index der Sondierungsfolge while (tag[i] != EMPTY &&!key.equals(T[i].key)){ // Naechster Eintr. in Sondierungsfolge i = (h(key) - s(j++, key)) % capacity; if (i < 0) i = i + capacity; } if (key.equals(T[i].key) && tag[i] == OCCUPIED) return i; else return -1; } public Object search (Object key) { /* sucht in der Hashtabelle nach Eintrag mit Schluessel key und liefert den zugehoerigen Wert oder null zurueck */ int i = searchIndex (key); if (i >= 0) return T[i].value; else return null; } Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 31 Offene Hashverfahren - Einfügen public void insert (Object key, Object value) { // fuegt einen Eintrag mit Schluessel key und Wert value ein int j = 1; // naechster Index der Sondierungsfolge int i = h(key); while (tag[i] == OCCUPIED) { i = (h(key) - s(j++, key)) % capacity; if (i < 0) i = i + capacity; } T[i] = new TableEntry(key, value); tag[i] = OCCUPIED; } Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 32 Offene Hashverfahren - Entfernen public void delete (Object key) { // entfernt Eintrag mit Schluessel key aus der Hashtabelle int i = searchIndex(key); if (i >= 0) { // Suche erfolgreich tag[i] = DELETED; } } Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 33 Test-Programm public class OpenHashingTest { public static void main(String args[]) { Ausgabe (Quadratisches Sondieren): Integer[] t= new Integer[args.length]; [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (12) [ ] for (int i = 0; i < args.length; i++) t[i] = Integer.valueOf(args[i]); [ ] [ ] [ ] [ ] (53) (12) [ ] OpenHashTable h = new OpenHashTable (7); for (int i = 0; i <= t.length - 1; i++) { [ ] [ ] [ ] [ ] (53) (12) (5) h.insert(t[i], null);# h.printTable (); [ ] (15) [ ] [ ] (53) (12) (5) } h.delete(t[0]); h.delete(t[1]); [ ] (15) (2) [ ] (53) (12) (5) h.delete(t[6]); h.printTable(); } (19) (15) (2) [ ] (53) (12) (5) } (19) (15) (2) (43) (53) (12) (5) Aufruf: java OpenHashingTest 12 53 5 15 2 19 43 (19) (15) (2) {43} {53} {12} (5) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 34 Sondierungsfolgen - Lineares Sondieren s(j,k) = j Sondierungsfolge für k: h(k), h(k)-1,...,0,m-1,..., h(k)+1, Problem: primäre Häufung (“primary clustering”) 0 1 2 3 4 5 6 5 53 12 Pr (nächstes Objekt landet an Position 2) = 4/7 Pr (nächstes Objekt landet an Position 1) = 1/7 Lange Ketten werden mit größerer Wahrscheinlichkeit verlängert als kurze. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 35 Effizienz des linearen Sondierens erfolgreiche Suche: 1 1  Cn  1   2 (1  ) erfolglose Suche: 1 1  C´n  1   2 (1  )2   Cn (erfolgreich) C´n(erfolglos) 0.50 1.5 2.5 0.90 5.5 50.5 0.95 10.5 200.5 1.00 - - Effizienz des linearen Sondierens verschlechtert sich drastisch, sobald sich der Belegungsfaktor  dem Wert 1 nähert.  Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 36 Quadratisches Sondieren s(j,k) = (-1)j * j/22 Sondierungsfolge für k: h(k), h(k)+1, h(k)-1, h(k)+4, ... Permutation, falls m = 4l + 3 eine Primzahl ist. Problem: sekundäre Häufung, d.h. zwei Synonyme k und k´ durchlaufen stets dieselbe Sondierungsfolge. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 37 Effizienz des quadratischen Sondierens erfolgreiche Suche:   1  Cn  1   ln  2 (1   ) erfolglose Suche: 1  1  C´n     ln  1 (1   )  Cn (erfolgreich) C´n(erfolglos) 0.50 1.44 2.19 0.90 2.85 11.40 0.95 3.52 22.05 1.00 - - Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 38 Uniformes Sondieren s(j,k) = πk(j) πk eine der m! Permutationen von {0,...,m-1} - hängt nur von k ab - gleichwahrscheinlich für jede Permutation C´n  1 1  1  Cn  * ln  1  (1   )  Cn (erfolgreich) C´n(erfolglos) 0.50 1.39 2 0.90 2.56 10 0.95 3.15 20 1.00 - - Informatik II: Algorit
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