GDI Kapitel 4 2007-05

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Kapitel 4 Zeichen und Zahlen … da schrieb er auf die Tafeln, wie die erste Schrift war Mose 10.4  Auch wenn Objekte der realen Welt beliebig komplex in…
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Kapitel 4 Zeichen und Zahlen … da schrieb er auf die Tafeln, wie die erste Schrift war Mose 10.4  Auch wenn Objekte der realen Welt beliebig komplex in Zusammensetzung und Struktur sind, so werden sie meist auf zwei einfache Repräsentationen - als Abstraktion - abgebildet: Zeichen und Zahlen. Dieses Kapitel beschreibt, wie diese Objekte in eine für den Rechner verarbeitbare Form kodiert werden können.  Inhalt 1. Kodierung von Zeichen 2. Darstellung von Zahlen 4.1 Kodierung von Zeichen  Die Wurzeln der Informationscodierung in der Menschheitsgeschichte liegt in der Entwicklung der Schrift. Menschen haben dabei versucht, mündliche Erzählung in Form von Bild-, Silben- oder Buchstabenschriften dauerhaft zu „codieren“. Dabei kommt der Buchstabenschrift im westlichen Kulturbereich eine besondere Bedeutung zu und wird durch Schriftzeichen aus aller Welt zunehmend ergänzt. Diese Entwicklung spiegelt sich auch in folgenden Unterkapiteln wider.  Inhalt  ASCII  EBCDIC  UNICODE 4.1.1 ASCII -Tabelle (7Bit)  American Standard Code for Information Interchange @ NUL 000 T DC4 020 ( 040 < 060 P 080 d 100 x 120 A SOH 001 U NAK 021 ) 041 = 061 Q 081 e 101 y 121 B STX 002 V SYN 022 * 042 > 062 R 082 f 102 z 122 C ETX 003 W ETB 023 + 043 ? 063 S 083 g 103 { 123 D EOT 004 X CAN 024 , 044 @ 064 T 084 h 104 _| 124 E ENQ 005 Y EM 025 - 045 A 065 U 085 i 105 } 125 F ACK 006 Z SUB 026 . 046 B 066 V 086 j 106 ~ 126 G BEL 007 [ ESC 027 / 047 C 067 W 087 k 107 DEL 127 H BS 008 \ FS 028 0 048 D 068 X 088 l 108 I HT 009 ] GS 029 1 049 E 069 Y 089 m 109 J LF 010 ^ RS 030 2 050 F 070 Z 090 n 110 K VT 011 _ US 031 3 051 G 071 [ 091 o 111 L FF 012 SP 032 4 052 H 072 \ 092 p 112 M CR 013 ! 033 5 053 I 073 ] 093 q 113 N SO 014 " 034 6 054 J 074 ^ 094 r 114 O SI 015 # 035 7 055 K 075 _ 095 s 115 P DLE 016 $ 036 8 056 L 076 ` 096 t 116 Q DC1 017 % 037 9 057 M 077 a 097 u 117 R DC2 018 & 038 : 058 N 078 b 098 v 118 S DC3 019 ' 039 ; 059 O 079 c 099 w 119 4.1.1 ASCII - Sonderzeichen  Bedeutung der Sonderzeichen im ASCII-Code @ NUL Null, or all zeros R DC2 DeviceControl2 A SOH StartHeading S DC3 DeviceControl3(XOFF) B STX StartText T DC4 DeviceControl4 C ETX EndText U NAK Neg.Acknowledge D EOT EndTransmission V SYM SynchronousIdle E ENQ Enquiry W ETB EndTrans.Block F ACK Acknowledge X CAN Cancel G BEL Bell Y EM EndofMedium H BS Backspace Z SUB Substitute I HT HorizontalTab [ ESC Escape J LF LineFeed \ FS FileSeparator K VT VerticalTab ] GS GroupSeparator L FF FormFeed ^ RS RecordSeparator M CR CarriageReturn _ US UnitSeparator N SO ShiftOut SP Space O SI ShiftIn P DLE DataLinkEscape ? DEL Delete Q DC1 DeviceControl1(XON) 4.1.2 EBCDIC - Tabelle  Extended Binary Coded Decimals Interchange Code nul 00 cc 01a pn 034 + 04e 068 b 082 09c 0b6 } 0d0 0ea soh 001 cu1 01b rs 035 | 04f 069 c 083 09d 0b7 J 0d1 0eb stx 002 ifs 01c uc 036 & 050 | 06a d 084 09e 0b8 K 0d2 0ec etx 003 igs 01d eot 037 051 , 06b e 085 09f 0b9 L 0d3 0ed pf 004 irs 01e 038 052 % 06c f 086 0a0 0ba M 0d4 0ee ht 005 ius 01f 039 053 06d g 087 ~ 0a1 0bb N 0d5 0eF lc 006 ds 020 03a 054 < 06e h 088 s 0a2 0bc O 0d6 0 0f0 del 007 sos 021 cu3 03b 055 ? 06f i 089 t 0a3 0bd P 0d7 1 0f1 ge 008 fs 022 dc4 03c 056 070 08a u 0a4 0be Q 0d8 2 0f2 rlf 009 023 nak 03d 057 071 08b v 0a5 0bf R 0d9 3 0f3 smm 00a byp 024 03e 058 072 08c w 0a6 { 0c0 0da 4 0f4 vt 00b lf 025 sub 03f 059 073 08d x 0a7 A 0c1 0db 5 0f5 ff 00c etb 026 Sp 040 ! 05a 074 08e y 0a8 B 0c2 0dc 6 0f6 cr 00d esc 027 041 $ 05b 075 08f z 0a9 C 0c3 0dd 7 0f7 so 00e 028 042 * 05c 076 090 0aa D 0c4 0de 8 0f8 si 00f 029 043 ) 5d 077 j 091 0ab E 0c5 0df 9 0f9 dle 010 sm 02a 044 ; 5e 078 k 092 0ac F 0c6 \ 0e0 | 0fa dc1 011 cu2 02b 045 5f ` 079 l 093 0ad G 0c7 0e1 0fb dc2 012 02c 046 - 060 : 07a m 094 0ae H 0c8 S 0e2 0fc tm 013 enq 02d 047 / 061 # 07b n 095 0af I 0c9 T 0e3 0fd res 014 ack 2e 048 062 @ 07c o 096 0b0 0ca U 0e4 0fe nl 015 bel 2f 049 063 ' 07d p 097 0b1 0cb V 0e5 eo 0ff bs 016 030 ¢ 04a 064 = 07e q 098 0b2 0cc W 0e6 il 017 031 . 04b 065 " 07f r 099 0b3 0cd X 0e7 can 018 syn 032 > 04c 066 080 09a 0b4 0ce Y 0e8 em 019 033 ( 04d 067 a 081 09b 0b5 0cf Z 0e9 4.1.2 EBCDIC - Sonderzeichen  Die Bedeutung der Sonderzeichen Char Description Char Description Char Description ACK Acknowledge EOT End of Transmission PN Punch On BEL Bell ESC Escape RES Restore BS Backspace ETB End of Transmission Block RS Reader Stop BYP Bypass ETX End of Text SI Shift in CAN Cancel FF Form Feed SM Set Mode CC Cursor Control FS Field Separator SMM Start of Manual Message CR Carriage Return HT Horizontal Tab SO Shift Out CU1 Customer Use 1 IFS Interchange File Separator SOH Start of Heading CU2 Customer Use 2 IGS Interchange Group Separator SOS Start of Significance CU3 Customer Use 3 IL Idle SP Space DC1 Device Control 1 IRS Interchange Record Separator STX Start of Text DC2 Device Control 2 IUS Interchange Unit Separator SUB Substitute DC4 Device Control 4 LC Lower Case SYN Synchronous Idle DEL Delete LF Line Feed TM Tape Mark DLE Data Link Escape NAK Negative Acknowledge UC Upper Case DS Digit Select NL New Line VT Vertical Tab EM End of Medium NUL Null ENQ Enquiry PF Punch Off 4.1.3 Unicode  Aktuelle Version 5.0.0 (siehe auch www.unicode.org)  Buchstaben und Symbole aus allen wichtigen geschriebenen Sprachen der Welt  Amerika, Europa, Mittlerer Osten, Afrika, Indien, Asien, Pazifik  Symbole  Satzzeichen  Sonderzeichen  Wird genormt in ISO/IEC 10646  Kompatibilität mit ASCII  0000 - 007F: identisch mit 7-bit ASCII  007F - 00FF: Latin-1 Supplement (nationale Sonderbuchstaben)  2500 - 25FF: Blockgraphikzeichen (Box Drawing: ╘╚╞╬└┴├...) 4.1.3 Unicode (www.wikipedia.org, Dez-3-06)  Unicode reserves 1,114,112 (= 220 + 216 or 17 × 216, hexadecimal 110000) code points.  As of Unicode 5.0.0, 101,063 (9.1%) of these codepoints are assigned, with another 137,468 (12.3%) reserved for private use, leaving 875,441 (78.6%) unassigned. The number of assigned code points is made up as follows:  98,884 graphemes  140 formatting characters  65 control characters  2,048 surrogate characters  The first 256 codes correspond with those of ISO 8859-1, the most popular 8-bit character encoding in the Western world. As a result, the first 128 characters are also identical to ASCII.  The Unicode code space for characters is divided into 17 planes, each with 65,536 (= 216) code points, although currently only a few planes are used:  Plane 0 (0000–FFFF): Basic Multilingual Plane (BMP)  Plane 1 (10000–1FFFF): Supplementary Multilingual Plane (SMP)  Plane 2 (20000–2FFFF): Supplementary Ideographic Plane (SIP)  Planes 3 to 13 (30000–DFFFF) unassigned  Plane 14 (E0000–EFFFF): Supplementary Special-purpose Plane (SSP)  Plane 15 (F0000–FFFFF) Private Use Area (PUA)  Plane 16 (100000–10FFFF) Private Use Area (PUA)  The cap of 220 code points (excluding Plane 16) exists in order to maintain compatibility with the UTF- 16 encoding, which addresses only that range. Currently, about ten percent of the Unicode code space is used. Furthermore, ranges of characters have been tentatively blocked out for every known unencoded script, and while Unicode may need another plane for ideographic characters, there are ten planes available if previously unknown scripts with tens of thousands of characters are discovered. This 20 bit limit is unlikely to be reached in the near future. 4.1.3 Unicode: Beispiele  05F1  FA0E  2603  20AC  xxD0 - xxDF 4.1.3 Unicode Bereiche Black = Latin scripts and symbols Light Blue = Linguistic scripts Blue = Other European scripts Orange = Middle Eastern and SW Asian scripts Light Orange = African scripts Green = South Asian scripts Purple = Southeast Asian scripts Red = East Asian scripts Light Red = Unified CJK Han Yellow = Aboriginal scripts Magenta = Symbols Dark Grey = Diacritics Light Grey = UTF-16 surrogates and private use Cyan = Miscellaneous characters White = Unused 4.2 Darstellung von Zahlen  Die Darstellung von Zahlen spielt in der Informatik nach wie vor eine wichtige Rolle. Dabei gibt es unterschiedliche Mengen von Zahlen und auch unterschiedliche Operationen auf Zahlen. Dieses Unterkapitel beschreibt die Grundlagen der Zahlenkodierung, gibt für alle Mengen von Zahlen eine konkrete Kodierung an und führt in die Computerarithmetik ein.  Inhalt 1. Zahlensysteme 2. Konvertierung 3. Arithmetik 4. Ganze positive Zahlen 5. Ganze negative Zahlen 6. Gebrochene Zahlen 7. Gleitpunktzahlen 8. Standards 4.2.1 Zahlensysteme  Nicht systematische Zahlendarstellungen, z.B.:  Strichliste: I, II, III, IIII, IIII, IIII I, ...  römische Zahlen: MIM, IX, ....  Systematische Zahlendarstellungen in einem Stellenwertsystem  Jede Zahl N lässt sich als Sequenz von Zeichen a i darstellen  Die Anzahl der notwendigen unterscheidbaren Zeichen ist B  N=Sai* Bi  Im Dezimalsystem ist B = 10 und die unterscheidbaren Zeichen sind: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9  Im Binärsystem ist B = 2 und die unterscheidbaren Zeichen sind: 0,1 4.2.1 Zahlensysteme - Beispiele  Dezimalsystem: (Basis 10)  199910 = 1*103 + 9*102 + 9*101 + 9*100  Binärsystem: (Basis 2)  199910 = 1*210+1*29+1*28+1*27+1*26+1*23+1*22+1*21+1*20 111110011112  Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) (Basis 16)  Zeichen: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F  199910 = 7*162 + 12*161 + 15*160 = 7CF16 = 0x07CF = H‘07CF  4 Zeichen einer Binärzahl lassen sich durch eine Hexadezimalziffer darstellen (4 Binärziffern nennt man auch NIBBLE)  Oktalsystem (Basis 8)  Zeichen: 0,1,2,3,4,5,6,7  199910 = 3*83 + 7*82 + 1*81 + 7*80 = 37178  3 Zeichen einer Binärzahl lassen sich durch eine Oktalziffer darstellen 4.2.2 Konvertierung: „Intuitivmethode“  Addition von geeigneten Zweierpotenzen (Dezimalzahl  Dualzahl)  positive Zweierpotenzen für Vorkommaanteil  negative Zweierpotenzen für Nachkommaanteil  Vorgehen (getrennt nach Vor- und Nachkommateil)  Suche größte Zweierpotenz, die noch in die Zahl passt  Subtrahiere die Zweipotenz von der Zahl daraus ergibt sich die neue Zahl für die Suche der Zweierpotenz  Dieses Vorgehen terminiert ...  ... beim Vorkommateil: wenn die Zahl = 0  ... beim Nachkommateil: wenn die Zahl erreicht ist, vielleicht nie  Beispiel: 39 25 39 - 32 = 7 0,8125 2-1 0,8125 - 0,5 = 0,3125 7 22 7-4 =3 0,3125 2-2 0,3125 - 0,25 = 0,0625 3 21 3-2 =1 0,0625 2-4 0,0625 - 0,0625 = 0 1 20 1-1 =0 0,1101 100111  39,0812510=100111,011012 4.2.2 Konvertierung: Restwertmethode  Erzeugen des Hornerschemas (Ausklammern der Basis b) c0 = anbn + an-1bn-1 + ... + a2b2 +a1b1 + a0b0  c0 = (( ... (anb + an-1) b + ... + a2) b +a1) b + a0  c1 c0 / b = c1 Rest a0 , mit c1= ( ... (anb + an-1) b + ... + a2) b +a1 , c1 / b = c2 Rest a1 , mit c2= ... (anb + an-1) b + ... + a2 , ... cn / b = 0 Rest an ( terminiert mit cn+1 = 0 )  Konversion der Nachkommastellen (folgt aus Hornerschema): 1. Multiplikation mit Basis (bis ganzzahliges Ergebnis oder gewünschte Genauigkeit) 2. Abspalten der Vorkommastelle des Ergebnisses, weiter mit 1.  Beispiel 19 : 2 = 9 Rest 1 0,6875 * 2 = 1,375 1 abspalten 9:2= 4 Rest 1 0,375 * 2 = 0,75 0 abspalten 4:2= 2 Rest 0 0,75 * 2 = 1,5 1 abspalten 2:2= 1 Rest 0 0,5 * 2 = 1 1 abspalten 1:2= 0 Rest 1 0,1011 10011 4.2.2 Arithmetik  Addition 0 + 0 = 0 1011 0 + 1 = 1 + 1110 1 + 0 = 1 111 Überträge 1 + 1 = 0 Übertrag 1 11001  Subtraktion 0 - 0 = 0 1101 0 - 1 = 1 Übertrag 1 - 1010 1 Überträge 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0011  Multiplikation 0 * 0 = 0 1101 * 11 0 * 1 = 0 1101 1 * 0 = 0 + 1101 1 * 1 = 1 1 1 Überträge  Division 100111 100111 : 11 = 01101 100 -11 0011 -11 0011 -11 00 4.2.3 Ganze positive Zahlen  Positive ganze Zahlen werden meist direkt in ihrer binären Darstellung kodiert.  Die BCD (Binary Coded Digits) - Darstellung von Zahlen ist eine Mischform aus Dezimal- und Binärdarstellung:  Jede Ziffer der Dezimalzahl wird binär dargestellt.  Die Darstellung jeder Ziffer erfolgt mit 4 Bits. 0 0000  Die Reihenfolge der Ziffern bleibt erhalten. 1 0001  Beispiele: 2 0010 3 0011  7 0111 4 0100  53 0101 0011 5 0101  1234 0001 0010 0011 0100 6 0110 7 0111  1999 0001 1001 1001 1001 8 1000 9 1001 1010 1011 1100 Pseudotetraden 1101 1110 1111 4.2.4 Ganze negative Zahlen: Probleme  Darstellung des Vorzeichens im ersten Bit, z.B. 0000 = 0 1000 = 0 0001 = 1 1001 = -1 0010 = 2 1010 = -2 0011 = 3 1011 = -3 0100 = 4 1100 = -4 0101 = 5 1101 = -5 0110 = 6 1110 = -6 0111 = 7 1111 = -7  Nachteil durch Redundanz der Darstellung der 0  Nachteil durch Probleme beim formalen Addieren 1011 -3 + 0001 +1 1100 -4 4.2.4 Ganze negative Zahlen: Zweierkomplement  Zweierkomplementdarstellung -2n ... +(2n-1)  Negative Zahl durch bitweise Komplementierung und Addition von 1 (eventl. Überlauf weglassen)  0000 = 0 Beispiel: 3 0001 = 1 1001 = -7 0011 Binärdarstellung 0010 = 2 1010 = -6 1100 Komplement 0011 = 3 1011 = -5 1101 Komplement + 1 = -3 0100 = 4 1100 = -4 0101 = 5 1101 = -3 0110 = 6 1110 = -2 0111 = 7 1111 = -1  Vorteile  Darstellung des Vorzeichens im ersten Bit  Abdeckung von 16 Zahlen, also keine Redundanz  Kein Nachteil durch Probleme beim formalen Addieren  Subtraktion durch Addition des Zweierkomplements -3 1101 -1 1111 +1 +0001 -1 +1111 1. Auf gleiche Länge bringen -2 1110 -2 11110  1110 2. Bitweise Komplementbildung 3. 1 Addieren 4. Addieren (wie bei Binärzahlen) 5. Überlauf ggf. weglassen 4.2.5 Gebrochene Zahlen: Binärdarstellung  Darstellung mit Vor- und Nachkommateil  Beispiele Gebrochene Binärzahl Gebrochene Dezimalzahl 0.1 0,5 0.01 0,25 111.111 7,875 0.0001 1001 1001 1001 .... 0,1  Mit 32 Bit lassen sich nur 232 verschiedene Zahlen darstellen.  Problem: extrem große und extrem kleine Zahlen lassen sich mit wenigen Bits nicht darstellen  Bei 8 Bit mit 4 Vorkomma und 4 Nachkommastellen (ohne Vorzeichen): 0000.0001 < n < 1111.1111 0,0675 < n < 15,9425 4.2.5 Gebrochene Zahlen: Exponentialdarstellung  Anforderung  sehr große und sehr kleine Zahlen sollen darstellbar sein  Masse Elektron = 9 * 10-28 g  Anzahl Moleküle pro Mol = 6,022 * 1023  die relativen Genauigkeiten sind wichtiger als die absoluten  Ältere Quellen geben die Anzahl der Moleküle pro Mol mit 6,065 * 1023 an  Eine Änderung in der Mantisse von  0,04 entspricht einer Toleranz von 6,065 / 6,022  1,0071 also ca. 0,7%.  Fixkommadarstellung wäre große Verschwendung  zur Darstellung dieser beiden Größen wären 194 Bit nötig  87 Bit Vorkommateil  107 Bit Nachkommateil  Idee: Signifikante Stellen und Größenordnung werden getrennt  Signifikant Masse Elektron: 9  Größenordnung Masse Elektron: 10-28 4.2.5 Gleitpunktzahlen: Real Darstellung  Darstellung durch Real-Zahlen, bestehend aus drei Teilen:  Vorzeichenbit V Gibt an, ob die Zahl positiv oder negativ ist  Mantisse M Wird mit dem Exponenten multipliziert  Die Normalform wird erreicht, indem das Komma soweit nach links oder rechts geschoben wird, bis die erste Stelle nach dem Dezimalpunkt die erste von Null verschieden Ziffer ist. Der Exponent wird entsprechend der Verschiebungen erhöht oder vermindert.  Exponent E Potenz einer Basiszahl (2) mit der die Mantisse multipliziert wird  wird oft in „BIAS“-Darstellung abgelegt, d.h. wird mit 126 addiert um negatives Vorzeichen zu vermeiden.  Vorsicht: 126 (nicht 128). Asymmetrisch, da 21 bei der Normalisierung zweimal geschoben wird, 2-1 gar nicht  Vorsicht: Bei manchen Maschinen wird so normalisiert, dass die erste Stelle vor dem Komma gleich 1 wird, dann ist der BIAS 127 4.2.5 Gleitpunktzahlen: Umwandlung  Umwandlung Dezimalzahl in binäre Gleitpunktzahl (nach IEEE 754)  Umwandlung der Dezimalzahl in Binärzahl mit Nachkommateil  Verschieben des Kommas nach links oder rechts bis zur Normalform  Damit ist erste Nachkommastelle = 1 und daher redundant, kann also in der Mantisse weggelassen werden. 2 * größere Genauigkeit der Mantisse  Erhöhen oder Erniedrigen des Exponenten  Umwandlung des Exponenten in binäre Form  Addition des BIAS =12610 (um negative Exponenten zu vermeiden) auf den Exponenten  Das Vorzeichen der Mantisse wird bestimmt: positiv 0, negativ 1  IEEE 754 sieht noch eine optionale Rundung der Mantisse vor  Nicht jede gebrochene Dezimalzahl lässt sich endlich als gebrochene Binärzahl darstellen (und umgekehrt).  Dadurch entstehen Rundungsfehler 4.2.5 Gleitpunktzahlen: Beispiele  Beispiel: 148,62510 1. Konvertieren: 10010100,101 2. Normalisieren: 10010100,101 = 0,10010100101*2+8 Exponent ist 8. M = 0010100101 (die führende 1 ist in Normalform redundant) 3. Bias addieren E = 12610 + 810 = 13410 = 100001102 4. Vorzeichen V = 0 5. Ergebnis: VEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 01000011000101001010000000000000  Beispiel: -2,7510 1. Konvertieren: 10,11 2. Normalisieren: 10,11 = 0,1011*2+2 Exponent ist 2. M = 011 (die führende 1 ist in Normalform redundant) 3. Bias addieren E = 12610 + 210 = 12810 = 100000002 4. Vorzeichen V = 1 5. Ergebnis: VEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 11000000001100000000000000000000 4.2.5 Gleitpunktzahlen: Arithmetik  Addition/Subtraktion  Die Exponenten werden angeglichen, indem die Mantisse des Operanten mit dem kleineren Absolutbetrag entsprechend verschoben wird.  Anschließend werden die Mantissen addiert  Beim Verschieben können Stellen verloren gehen.  Multiplikation  Die Mantissen der Operanten werden multipliziert  Die Exponenten werden addiert  Sind die Exponenten zu groß, kann es zu Exponenten-Overflow kommen  Division  Die Mantissen der Operanten werden dividiert  Der Exponent ergibt sich aus der Differenz des Dividenden und Divisors  Ist der Divisor zu klein und/oder der Dividend zu groß kann es zu einem Exponenten- Underflow kommen. Das Ergebnis wird dann zu 0, alle Ziffern sind verloren  Nach allen Operationen wird die Normalform ggf. wiederhergestellt 4.2.6 Standards  Short -128 ... 127 (8Bit)  Integer -32768 ... 32767 (16Bit)  Unsigned Int 0 ...65535 (16Bit)  LongInt -2147483648 ... 2147483647 (32Bit)  Real nach IEEE 754  Float 1 VZ-Bit, 8 Bit E, 23 Bit M (32Bit)  Double 1 VZ-Bit, 11 Bit E, 52 Bit M (64Bit)  zwei Varianten 0,5  M < 1 bzw. 1  M < 2 Number sign exponent mantissa normalized number 0/1 01 to FE any value denormalized number 0/1 00 any value zero 0/1 00 0 infinity 0/1 FF 0 NaN 0/1 FF any value but 0 4.2.6 Standards: Beispiel (Delphi)  In Borlands Delphi (Pascal) sind folgende Typen festgelegt:  Typ Bereich Signifikant Größe (Byte)  Real48 2,9 x 10^-39 1,7 x 10^38 11-12 6  Single 1,5 x 10^-45 3,4 x 10^38 7-8 4  Double 5,0 x 10^-324 1,7 x 10^308 15-16 8  Extended 3,6 x 10^-4951 1,1 x 10^4932 10-20 10  Comp -2^63+1 2*63-1 10-20 8  Currency -922337203685477.5808 10-20 8 +922337203685477.5808  Der generische Typ Real ist in der aktuellen Implementierung mit dem Typ Double identisch. http://de.wikipedia.org/wiki/Borland_Delphi#Elementare_Datentypen (7.5.2007) 4.3 Zusammenfassung des Kapitels  Darstellung von Zeichen  ASCII  EBCDIC  UNICODE  Darstellung von Zahlen  Zahlensysteme  Konvertierung  Arithmetik  Ganze positive Zahlen  Ganze negative Zahlen  Gebrochene Zahlen  Gleitpunktzahlen  Standards
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