Blatt 6

 Elektronik

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Mathematische Rechenmethoden 1 Blatt 6 - Abgabe: Freitag, den 29.05.15, 12 Uhr Staudinger Weg 7, EG, rote Kästen M. Sulpizi und Assistenten SoSe 2015 Aufgabe…
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Mathematische Rechenmethoden 1 Blatt 6 - Abgabe: Freitag, den 29.05.15, 12 Uhr Staudinger Weg 7, EG, rote Kästen M. Sulpizi und Assistenten SoSe 2015 Aufgabe 1: Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen (5 Punkte) (a) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen: √ 2 (i) (2i)16 (ii) 3 + 2i (b) Berechnen Sie den Hauptwert von: √ √ (i) −9 √ (ii) ln(i) √ 1 (iii) ln(−1 + 3i) (iv) 3 i (v) (−2i − 2 3) 4 (vi) (1 + i)i Aufgabe 2: Holomorphe Funktione (Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen) (5 Punkte) z∗ (a) Untersuchen Sie die Funktion f (z) = |z|2 auf Holomorphie. (b) Für welchen Wert des Parameters α ist die Funktion u(x, y) = sin x(e−αy + ey ) holomorph? (c) Sagen Sie ob die Funktion x cos y + y sin y u(x, y) = ex x2 + y 2 der Reelleteil einer holomorphen Funktion sein kann und bestimmen Sie gegebenfalls f (z). Aufgabe 3: Trajektorien (5 Punkte) Ein Teilchen bewege sich in der x − y−Ebene als Funktion der Zeit t derart, dass die Bewegung durch die folgende Gleichung beschrieben werden kann: z(t) = x(t) + iy(t) = e(2it) (a) Zeichnen Sie die Traktorie in der Ebene. Welche Bewegung wird beschrieben? (b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung sowie den Betrag von Geschwindig- keit und Beschleunigung als Funktion der Zeit t. Aufgabe 4: Impedanz und Scheinwiderstand (5 Punkte) In der Wechselstromtechnik geht man üblicherweise von sinusförmigen Strom- und Spannungsverläu- fen aus. Daher ist es möglich, Stom und Spannung als komplexe Zeiger in der Gaußschen Ebene zu betrachten. Dies führt mit der Ihnen vielleicht als U = R · I bekannten Formel zu komplexen Wider- ständen (Impedanz Z). Der ohmische Widerstand bleibt dabei reell, es gilt Z R = R. Für eine Kapazität 1 C gilt Z C = , dabei ist ω die Kreisfrequenz. Für eine Induktivität L gilt Z L = iωL. Die gesamt iωC Impedanz ergibt sich dann als Z = Z R + Z C + Z L . Physikalisch relevant ist der Betrag der Impedanz Z = |Z| (Scheinwiderstand). (a) Skizzieren Sie das Zeigerdiagramm eines Schlatkreises der Reihenfolge R−L−C. Tragen Sie da- zu die Größen Z R , Z C , Z L , Z auf. Nehmen Sie an, dass R, C, L, ω physikalisch sinnvolle Werten haben (größer als Null sind). (b) Berechnen Sie die Impedanz und den Scheinwiderstand mit R = 100 Ω, C = 32 µF , L = 40 mH und ω = 300 Hz Aufgabe 5: Graphen komplexer Funktionen (3 BONUSpunkte) Wie lassen sich komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen veranschaulichen? Der Graph einer solchen Funktion ist eine Teilmenge des C2 ∼= R4 und entzieht sich der Anschauung. Eine gute Möglichkeit der Darstellung von f = g + ih ist die Zeichnung der Niveaulinien von g, h oder |f |, d.h. einiger Linien der Mengen {z : Re(f (z)) = const}, {z : Im(f (z)) = const} oder {z : |f (z)| = const}. Betrachten wir uns nun die Funktion f (z) = z 2 mit z ∈ C. Bestimmen und zeichnen Sie die folgenden Niveaulinien: (a) Re(f (z)) = k mit k ∈ {−4; −1; 0; 1; 4}. (b) Im(f (z)) = c mit c ∈ {−8; −2; 0; 2; 8}. (c) |f (z)| = n mit n ∈ {0; 1; 4; 9}.
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