Aufgaben zur Normalverteilung Mit

 Statistik Und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1. Normalverteilung 2. normalverteilte Zufallsgr¨oße 3. Aufgaben zur Normalverteilung 4. Dichte(funktion) 5. Aufgaben zur Normalverteilung 6.…
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1. Normalverteilung 2. normalverteilte Zufallsgr¨oße 3. Aufgaben zur Normalverteilung 4. Dichte(funktion) 5. Aufgaben zur Normalverteilung 6. Mittagstemperatur-Aufgabe 7. Aufgaben zur Normalverteilung 8. Stetigkeitskorrektur 9. Sch¨atzung absoluter H¨aufigkeiten 10. Stichprobenumfang 11. Konfidenzintervall fu¨r p (siehe auch Stochastik Konfidenzintervall) 12. Normalverteilung, Wahrscheinlichkeiten 13. Genauigkeit relativer H¨aufigkeiten 14. Aufgaben 15. Merkzettel Normalverteilung 16. Der zentrale Grenzwertsatz √ 17. Summe von Zufallsvariablen, n - Gesetz 18. Stichprobenmittel Aufgaben 19. Konfidenzintervall fu¨r den Erwartungswert 20. Wurst-Aufgabe 21. Mehltu¨ten-Aufgabe 22. Autoreifen-Aufgabe Normalverteilung de Moivre 1730, Laplace 1812) Binomialverteilung: 0,2 n = 30 p = 0,5 p σ = n · p · q, µ = np (z. B. 30-maliges Werfen einer M¨unze, X Anzahl von “Zahl“) µ 5 10 a 15 20 k | {z } | b{z } σ σ In das Histogramm einer Binomialverteilung kann eine Kurve gelegt werden, die die Verteilung so gut approximiert, dass die Berechnung von P (a ≤ X ≤ b) durch eine Fl¨achenberechnung erfolgen kann. 2 1 Hierzu wird die Funktion f (x) = e−x , deren Wendestellen x1/2 = ± √ lauten, so abge¨andert, dass 1 2 sie bei x1/2 = ±1 liegen, x wird durch √ x ersetzt. Beachte: g(x) = f (ax) =⇒ g(1) = f (a). 2 y 1 2 f (x) = e−x -2 -1 1 2 x AnschließendZ wird sichergestellt, dass die Kurve mit der x-Achse den Fl¨acheninhalt 1 einschließt, ∞ 1 − x2 √ 1 1 − x2 hierzu wird e 2 dx = 2π verwendet. Die sich ergebende Funktion ϕ(x) = √ e 2 −∞ 2π heißt Gausssche Glockenkurve oder Dichtefunktion der Standardnormalverteilung. y 0,5 ϕ(x) -3 -2 -1 1 z 2 3 x Die Gausssche Funktion ϕ(x) wird nun dem Histogramm angepasst: Die Wendestellen werden zun¨achst durch Streckung in x-Richtung zu x1/2 = ± σ ge¨andert. Damit der Fl¨acheninhalt gleich bleibt, wird der Graph in y-Richtung gestaucht und anschließend um µ nach rechts verschoben. Das Ergebnis lautet: 1 x−µ 1 1 x−µ 2 − ( ) ϕµ,σ (x) = ϕ( )= √ e 2 σ σ σ σ 2π Mit der Verteilungsfunktion Φ(z), die den Inhalt der Fl¨ache unter der Gaussschen Glockenkurve bis zur rechten Grenze z angibt, k¨onnen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden (siehe n¨achste Seite): b−µ a−µ P (a ≤ X ≤ b) ≈ Φ( ) − Φ( ) σ σ c Roolfs 1 y 0,6 Standardnormalverteilung 0,4 µ=0 ϕ(x) σ=1 0,2 -3 -2 -1 1 2 3 x y 1,0 0,8 0,6 0,4 σ ∈ {0,4, 0,6, 0,8, 1} 0,2 -3 -2 -1 1 2 3 x y 0,8 P (X ≤ z) = Φ(z) bc = normalcdf(−10, z) 0,6 0,4 ϕ(x) µ=0 0,2 σ=1 -3 -2 -1 z 1 2 3 x Rx Φ(x) = ϕ(t) dt ist eine Integralfunktion. −∞ Φµ,σ (x) y a−µ 0,8 P (X ≤ a) = Φ( ) bc σ Aus a = µ + z σ folgt 0,6 = normalcdf(−10, a, µ, σ) a−µ z= . σ 0,4 ϕµ,σ (x) µ=1 Somit ist Inhalt der Fl¨ache unter 0,2 σ = 0,6 ϕµ,σ (x) bis zur rechten Grenze a a−µ -1 1 a 2 3 4 x Φµ,σ (a) = Φ( ). σ c Roolfs 2 Normalverteilt µ | {z }| {z } σ σ Zufallsgr¨oßen, die um einen Mittelwert schwanken wie Blattl¨angen, Messfehler, Lebensdauern, Ferkelgewichte sind stetige Zufallsgr¨oßen im Gegensatz zu diskreten (h¨aufig ganzzahligen) Zufalls- gr¨oßen. Um die Wahrscheinlichkeit f¨ur ein Intervall (nur das ist sinnvoll) zu ermitteln, ist statt einer Summenbildung nun eine Fl¨achenberechnung erforderlich. Die Verteilung einer normalverteilten Zufallsgr¨oße (Zufallsvariable) beruht auf der Gausskurve und ist durch µ und σ festgelegt. Ljapunow gelang 1901 der Nachweis, dass - vereinfacht formuliert - Zufallsgr¨oßen, die sich aus einer großen Anzahl von zufallsbedingten, unabh¨angigen Einfl¨ ussen zusammensetzen, stets normalverteilt sind. Dies ist einsichtig, man denke an die Verteilung von X (Trefferanzahl) einer Bernoulli-Kette. X setzt sich als Summe (vieler) 0/1-Teilergebnisse zusammen. Quetelet f¨uhrte 1844 die Bezeichnung Normalverteilung ein, als er den Brustumfang von Soldaten untersuchte. c Roolfs 3 Aufgaben zur Normalverteilung 1. F¨ ur die K¨orpergr¨oße von 18−20-j¨ahrigen M¨annern ergibt sich ein Mittelwert von 1,80 m bei einer Standardabweichung von 7,4 cm. Die K¨orpergr¨oße kann als normalverteilt angesehen werden. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Mann dieser Altersgruppe 1) gr¨ oßer als 1,85 m 2) zwischen 1,70 m und 1,80 m groß? b) In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen die Gr¨oßen von 50 % aller M¨anner dieser Altersgruppe? c) Wie groß muss ein Mann sein, damit er zu den 5 % gr¨oßten M¨annern geh¨ort? Karpfen-Aufgabe aus Berufsreifepr¨ ¨ ufung, Jutta Gut (Osterreich) 2. In einem Ort gibt es einige Karpfenteiche. Das Gewicht der Karpfen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 4 kg und der Standardabweichung σ = 1,25 kg. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Karpfen zu fangen, der 1) h¨ochstens 2,5 kg, 2) mindestens 5 kg wiegt? b) Wieviel Prozent aller Karpfen wiegen zwischen 3 kg und 4,5 kg? c) In welchem zum Erwartungswert symmetrischen Gewichtsbereich liegen 80% aller Karpfen? d) Der Fischereiverband will einen Preis f¨ ur die schwersten Karpfen aussetzen. Welches Mindestgewicht muss man verlangen, damit die Wahrscheinlichkeit, den Preis zu bekommen, 2 % betr¨agt? e) In einem kleinen Teich befinden sich 10 Karpfen und 15 Barsche. Ein Angler beschließt, 3 Fische zu fangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 2 Karpfen f¨angt? (Die gefangenen Fische werden nicht zur¨ uckgeworfen.) Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 3. Ein Medikament hat eine Heilungswahrscheinlichkeit von 80 %. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 400 mit diesem Medikament behandelte Patienten 1) h¨ochstens 310 Patienten 2) zwischen (einschließlich) 308 und 332 Patienten geheilt werden? b) In welchem zum Erwartungswert symmetrischen Bereich liegt mit 80 % Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Geheilten? 4 Ergebnisse: 1. a) 1) 25,0 % 2) 41,2 % Φ( a −σ180 ) = 0,25 a − 180 Φ −1 b) =⇒ = (0,25) =⇒ [175, 185] (cm) σ oder linke Grenze l = invNorm(0.25, µ, σ) = 175 rechte Grenze r = invNorm(0.75, µ, σ) = 185 c) Φ( a −σ180 ) = 0,95 =⇒ mindestens 192,2 (cm) oder a = invNorm(0.95, µ, σ) = 192,2 2. a) 1) 0,114 2) 0,212 b) 44,4 % 1+α c) entweder z = Φ ( −1 ) [µ − zσ | µ + zσ] 2 oder linke Grenze l = invNorm(0.1, µ, σ) [2,4 kg; 5,6 kg ] d) 6,57 kg e) P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1)      15 10 15 3 1 2 = 1 −   −   = 1 − 0,1978 − 0,4565 = 0,346 25 25 3 3 √ 3. a) µ = np = 320, σ = n·p·q =8 1) 11,8 % GTR normalcdf(0, 310.5, µ, σ) (mit Stetigkeitskorrektur) 2) 88,2 % normalcdf(307.5, 332.5, µ, σ) −µ a + 0,5 − µ b) Φ( a + 0,5 σ ) = 0,10 =⇒ σ = Φ−1(0,10) =⇒ [310, 330] c Roolfs 5 Dichte(funktion) f (x) 0,4 0,3 0,2 µ=4 σ=1 0,1 Intervallwahrscheinlichkeit 0,015 1 2 3 4 5 6 7 X Bei einer stetigen Zufallsvariablen sind Wahrscheinlichkeiten aufgrund der Vielzahl der m¨oglichen Ergebnisse nur f¨ur Bereiche festgelegt, und zwar durch die jeweils dar¨ uberliegende Fl¨ache unterhalb der Dichtefunktion. In der Grafik sind die Intervalle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eingezeichnet. Die zugeh¨origen Fl¨achenstreifen haben also dieselbe Maßzahl. Die Unterteilung h¨atte beliebig fein erfolgen k¨onnen. Sie kann als ideale Verteilung von Zufallsergebnissen einer Normalverteilung gese- hen werden. F¨ ur gleichlange (kleine) Intervalle, auf denen jeweils die Funktionswerte wenig differieren (nahezu konstant sind), ist die Dichte (Anzahl) der Striche (nahezu) proportional zur Wahrscheinlichkeits- dichte f (x) an der jeweiligen Stelle. f (x) 0,4 0,3 0,2 µ=4 σ=1 0,1 Intervallwahrscheinlichkeit 0,008 1 2 3 4 5 6 7 X c Roolfs 6 Aufgaben zur Normalverteilung 1. Das Gewicht von neugeborenen Kindern sei normalverteilt mit µ = 3200 g und σ = 800 g. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborenes (1) mehr als 3000 g, (2) h¨ ochstens 2500 g, (3) zwischen 4000 und 5000 g wiegt? b) Wie schwer muss ein Neugeborenes sein, damit es zu den 20 % leichtesten (15 % schwersten) geh¨ort? 2. Die K¨orpergr¨oße von erfolgreichen Models ist normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 178 cm und der Standardabweichung von σ = 2,4 cm. In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegen die K¨orpergr¨oßen von 80 % (95 %) aller Models? 3. Die Standardabweichung bei der Reißfestigkeit von Kettengliedern wird mit σ = 1300 Newton gesch¨atzt. Wie groß muss der Erwartungswert µ mindestens sein, damit h¨ochstens 2 % (5 %) der Kettenglieder eine Festigkeit von weniger als 10000 Newton besitzen? 4. Waschmaschinen sollen f¨ ur einen Waschgang durchschnittlich 65 l Wasser verbrauchen. Ein Hersteller will erreichen, dass bei h¨ochstens 5 % (10 %) seiner Maschinen der Wasser- verbrauch gr¨oßer als 75 l ist. Welche Standardabweichung darf die Maschine (h¨ochstens) haben, wenn man voraussetzt, dass der Wasserverbrauch normalverteilt ist? 5. Eine Firma ben¨otigt Zylinder mit einem Durchmesser von 20 [mm]. Sie akzeptiert Abweichungen von maximal +/− 0,5 [mm]. Der Durchmesser X eines produzierten Zylinders ist normalverteilt mit µ = 20 [mm]. a) Wieviel Prozent der Zylinder lehnt die Firma ab, wenn σ = 0,8 [mm] ist? b) Wie groß ist σ, wenn die Firma durchschnittlich 20 % der Zylinder ablehnt? 6. Die k¨ unftig erreichbare mittlere Lebenserwartung des Menschen wird auf 85 Jahre gesch¨atzt mit der Standardabweichung σ = 4,5 Jahre. a) Welcher Anteil der Menschen w¨ urde h¨ochstens 75 Jahre alt? b) Welcher Anteil der Menschen w¨ urde mindestens 90 Jahre alt? c) In welchem zum Mittelwert symmetrischen Bereich w¨ urden 95 % der erreichten Lebensalter liegen? c Roolfs 7 1. a) (1) 59,9 %, (2) 19,1 %, (3) 14,6 % b) ≤ 2527 g (≥ 4029 g) 2. [174,9; 181,1] ([173,3; 182,7]) 3. µ = 12669,9 Newton (12138,3 Newton) 4. σ = 6,1 l (7,8 l) 5. a) P = 1 − normalcdf(19.5, 20.5, µ, σ) = 53,2 % b) L¨ose normalcdf(19.5, 20.5, 20, x) = 80 % oder 19,5 = 20 − 1,28σ =⇒ σ = 0,39 6. a) 13,1 % b) 13,3 % c) [76,2; 93,8] c Roolfs 8 Mittagstemperatur-Aufgabe Ein Statistiker hat f¨ ur den Juli eine Urlaubsreise nach Rom geplant. Es ist bekannt, dass die Mittagstemperatur X im Juli in Rom sich gut durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 25◦ C und σ = 3,2◦ C beschreiben l¨asst. a) (1) Der Statistiker friert, wenn die Mittagstemperatur unter 20,4◦ C sinkt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies im diesj¨ahrigen Sommerurlaub der Fall? (2) Die Frau des Statistikers meint, dass es ihr zu warm wird, wenn die Mittagstemperatur gr¨oßer als 29,6◦ C ist und dass die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ebenso groß sei wie die in (1) errechnete Wahrscheinlichkeit. Ist hierauf eine Antwort ohne GTR-Einsatz m¨oglich? b) (1) Welche Mittagstemperatur wird von 95 % der Tage im Juli in Rom mindestens erreicht? (2) Wie lautet die Obergrenze b, so dass P (23◦ C ≤ X ≤ b) = 0,50 gilt? c) F¨ ur ein anderes Urlaubsziel gilt f¨ ur den Juli: 60 % der Mittagstemperaturen u ¨ berschreiten den Wert 22◦ C nicht. Unter 18◦ C sinkt die Mittagstemperatur nur in 10 % aller Monate. Ausserdem seien die Mittagstemperaturen an diesem Ort ebenfalls normalverteilt. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standard- abweichung der Mittagstemperatur an diesem Urlaubsort. c Roolfs 9 Mittagstemperatur-Aufgabe Ergebnisse Ein Statistiker hat f¨ ur den Juli eine Urlaubsreise nach Rom geplant. Es ist bekannt, dass die Mittagstemperatur X im Juli in Rom sich gut durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 25◦ C und σ = 3,2◦ C beschreiben l¨asst. a) (1) Der Statistiker friert, wenn die Mittagstemperatur unter 20,4◦ C sinkt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies im diesj¨ahrigen Sommerurlaub der Fall? 7,5 % (2) Die Frau des Statistikers meint, dass es ihr zu warm wird, wenn die Mittagstemperatur gr¨oßer als 29,6◦ C ist und dass die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ebenso groß sei wie die in (1) errechnete Wahrscheinlichkeit. Ist hierauf eine Antwort ohne GTR-Einsatz m¨oglich? Symmetrie beachten. b) (1) Welche Mittagstemperatur wird von 95 % der Tage im Juli in Rom mindestens erreicht? 19,7◦ C (2) Wie lautet die Obergrenze b, so dass P (23◦ C ≤ X ≤ b) = 0,50 gilt? 27,3◦ C c) F¨ ur ein anderes Urlaubsziel gilt f¨ ur den Juli: 60 % der Mittagstemperaturen u ¨ berschreiten den Wert 22◦ C nicht. Unter 18◦ C sinkt die Mittagstemperatur nur in 10 % aller Monate. Ausserdem seien die Mittagstemperaturen an diesem Ort ebenfalls normalverteilt. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standard- abweichung der Mittagstemperatur an diesem Urlaubsort. 22 − µ P (Y ≤ 22◦ C) = Φ( σ ) = 60 % P (Y ≤ 18◦ C) = Φ( 18σ− µ ) = 10 % Φ ( 0,6 ) = 0,253 −1 Φ ( 0,1 ) = −1,282 −1 µ = 21,3◦ C, σ = 2,6◦ C c Roolfs 10 Aufgaben zur Normalverteilung 1. Die Raumh¨ohe der H¨auser eines Bauunternehmens ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ = 2,60 m und Varianz σ 2 = 0,09 m2 . a) (1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit h¨alt das Unternehmen die gesetzlich vorgeschriebene Mindesth¨ohe von 2,50 m ein? (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Raum h¨ oher als 2,60 m? (3) Berechnen Sie das zentrale 90 % Schwankungsintervall f¨ ur die Raumh¨ohe. b) Wie groß m¨usste die erwartete Raumh¨ohe des Unternehmens sein, um die gesetzliche Mindestvorgabe von 2,50 m mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % zu erf¨ ullen? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Raumh¨ohe bei 100 zuf¨allig und unabh¨angig ausgew¨ahlten Geb¨auden gr¨oßer als 2,65 m ist? 2. Ein Produzent von Kakaopulver weiß aus Erfahrung, dass das F¨ ullgewicht seiner 125 g-Packung normalverteilt mit µ = 125 g und σ = 5 g ist. a) (1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung genau µ = 125 g wiegt? (2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 110 g wiegt. (3) Welches F¨ ullgewicht wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 mindestens erreicht? b) (1) Bestimmen Sie die Grenzen des 1,5-fachen zentralen Schwankungsintervalls. (2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das F¨ ullgewicht in diesem Intervall liegt? (3) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit in b)(2) unabh¨ angig von den Werten von µ und σ ist. c) (1) Ein Konsument kauft innerhalb eines Jahres unabh¨ angig voneinander 5 Kakaopackun- gen. Welche Grenzen besitzt das 85 % zentrale Schwankungsintervall des F¨ ullgewichts aus allen 5 Packungen zusammen? (2) Das Gewicht einer Kakaopackung setzt sich aus dem F¨ ullgewicht und 5 g Verpackungs- material zusammen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gewicht einer Kakao- packung zwischen 120 g und 130 g? 11 Aufgaben zur Normalverteilung Ergebnisse 1. Die Raumh¨ohe der H¨auser eines Bauunternehmens ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ = 2,60 m und Varianz σ 2 = 0,09 m2 . a) (1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit h¨alt das Unternehmen die gesetzlich vorgeschriebene Mindesth¨ohe von 2,50 m ein? 63,1 % (2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Raum h¨ oher als 2,60 m? 50,0 % ur die Raumh¨ohe. [2,11 | 3,09] (3) Berechnen Sie das zentrale 90 % Schwankungsintervall f¨ b) Wie groß m¨usste die erwartete Raumh¨ohe des Unternehmens sein, um die gesetzliche Mindestvorgabe von 2,50 m mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % zu erf¨ ullen? 3,20 m c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Raumh¨ohe bei 100 zuf¨allig und unabh¨angig ausgew¨ahlten Geb¨auden gr¨oßer als 2,65 m ist? 4,8 % 2. Ein Produzent von Kakaopulver weiß aus Erfahrung, dass das F¨ ullgewicht seiner 125 g-Packung normalverteilt mit µ = 125 g und σ = 5 g ist. a) (1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung genau µ = 125 g wiegt? Gewicht gerundet P (124,5 ≤ X ≤ 125,4) = 7,2 % (2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als 110 g wiegt. 0,1 % (3) Welches F¨ ullgewicht wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 mindestens erreicht? 116,8 g b) (1) Bestimmen Sie die Grenzen des 1,5-fachen zentralen Schwankungsintervalls. [117,5 | 132,5] (2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das F¨ ullgewicht in diesem Intervall liegt? 86,6 % (3) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit in b)(2) unabh¨ angig von den Werten von µ und σ ist. beachte P (X ≤ k) = Φ( k −σ µ ) c) (1) Ein Konsument kauft innerhalb eines Jahres unabh¨ angig voneinander 5 Kakaopackun- gen. Welche Grenzen besitzt das 85 % zentrale Schwankungsintervall des F¨ullgewichts aus allen5 Packungen zusammen? [121,8 | 128,2] (2) Das Gewicht einer Kakaopackung setzt sich aus dem F¨ ullgewicht und 5 g Verpackungs- material zusammen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gewicht einer Kakao- packung zwischen 120 g und 130 g? 47,7 % 12 Stetigkeitskorrektur Binomialverteilung: 0,2 n = 30 p = 0,5 p σ = n · p · q, µ = np (z. B. 30-maliges Werfen einer M¨unze, X Anzahl von “Zahl“) µ 5 10 a 15 b 20 k Zur Berechnung von z. B. P (a ≤ X ≤ b) kann eine Summe von Rechteckfl¨achen in den Grenzen von a bis b mit einer Fl¨ache unter der Dichtefunktion angen¨ahert werden. Da die Rechtecke des Histogramms symmetrisch zur jeweiligen Stelle k angeordnet sind, gilt genauer: b + 0,5 − µ a − 0,5 − µ a − 0,5 − µ 1. P (a ≤ X ≤ b) ≈ Φ( ) − Φ( ) 4. P (X ≥ a) ≈ 1 − Φ( ) σ σ σ k + 0,5 − µ k − 0,5 − µ c + 0,5 2. P (X = k) ≈ Φ( ) − Φ( ) 5. P ( | X − µ | ≤ c) ≈ 2 · Φ( )−1 σ σ σ b + 0,5 − µ c + 0,5 3. P (X ≤ b) ≈ Φ( ) 6. P ( | X − µ | > c) ≈ 2 · (1 − Φ( )) σ σ c Roolfs 13 Normalverteilung, Fortsetzung Das Korrekturglied 0,5 tritt nur auf, wenn die Normalverteilung zur Approximation der Bino- mialverteilung verwendet wird. Es entf¨allt bei Problemstellungen, die mit der stetigen Normal- verteilung bearbeitet werden. c + 0,5 − µ P (X ≤ c) ≈ Φ( ) σ geht u ¨ ber in c + 0,5 P (X − µ ≤ c) ≈ Φ( ), σ da E(X − µ) = 0 ist. F¨ ur das Folgende wird der Zusammenhang c + 0,5 P ( | X − µ | ≤ c) ≈ 2Φ( )−1 σ ben¨otigt. Er kann unmittelbar eingesehen werden. z wird mit der Normalverteilung ermittelt. Φ | {z }µ| {z } c c Φ | {z }µ| {z } c c Φ+Φ−1 | {z }µ| {z } c c 14 Sch¨atzung absoluter H¨aufigkeiten In welchem Bereich streut X um den Erwartungswert µ mit vorgegebener Sicherheitswahrscheinlichkeit? Die rechte Seite von c + 0,5 P ( | X − µ | ≤ c) ≈ 2Φ( )−1 σ soll also mindestens z. B. 90 % sein. F¨ur n = 50000 und p = 0,4 ergibt das c + 0,5 2Φ( ) − 1 ≥ 0,90 σ c + 0,5 Φ( ) ≥ 0,95 σ c + 0,5 ≥ 1,645 beachte: Φ−1 (0,95) = 1,645 σ c ≥ 179,7 =⇒ 19820,3 ≤ X ≤ 20179,7 19820 ≤ X ≤ 20180 (90 % wird nicht unterschritten) GTR: 19819.8 = invNorm(0.05, 20000, 109.5) 20180.1 = invNorm(0.95, 20000, 109.5) Mit der Tschebyschew-Ungleichung n·p·q P ( | X − µ | < c) ≥ 1 − c2 gestaltet sich die Rechnung ¨ahnlich: n·p·q 1− ≥ 0,90 c2 c ≥ 346,4 =⇒ 19653,6 < X < 20346,4 19654 ≤ X ≤ 20346 Setzt sich die Zufallsvariable aus einer Summe zusammen, z. B. Y = X1 + X2 + X3 , so ist E(Y ) = E(X1 ) + E(X2 ) + E(X3 ) und falls √ die Xi unabh¨angig sind, gilt auch V (Y ) = V (X1 ) + V (X2 ) + V (X3 ), σY = Y . c Roolfs 15 Stichprobenumfang Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, X damit mit vorgegebener Sicherheitswahrscheinlichkeit die relative H¨aufigkeit n in der ε-Umgebung von p liegt? p kann dann mit diesem Stichprobenumfang bis auf eine Abweichung von ε gesch¨atzt werden. Die rechte Seite von X ε · n + 0,5 P(| − p | ≤ ε) ≈ 2Φ( )−1 | n {z } σ = P ( | X − µ | ≤ ε · n) soll also mindestens z. B. 90 % sein. F¨ ur p = 0,4 und ε = 0,02 ergibt das ε · n + 0,5 2Φ( ) − 1 ≥ 0,90 σ ε · n + 0,5 Φ( ) ≥ 0,95 σ ε · n + 0,5 ≥ 1,645 beachte: Φ−1 (0,95) = 1,645 σ n ≥ 1573 Die Rechnung ist nicht so m¨ uhelos, wie es den Anschein hat. √ Es ist eine quadratische Gleichung mit n zu l¨osen, erfreulich ist dies nur mit einem CAS. Ohne 0,5 (stetige Verteilung) ist die Rechnung wesentlich einfacher. Mit der Tschebyschew-Ungleichung X n·p·q P ( | n − p | < ε) ≥ 1 − (ε · n)2 erhalten wir eine grobe Sch¨atzung: n·p·q 1− ≥ 0,90 (ε · n)2 n ≥ 6000 ur unbekanntes p ist vom Term p · q der ung¨ F¨ unstigste Fall zu nehmen, 1 1 p · q = p · (1 − p) und zwar das Maximum f¨ ur p = . 4 2 = p − p2 1 1 1 = − (p − ) 2 ≤ 4 2 4 c Roolfs 16 Konfidenzintervall fu¨r p (siehe auch Stochastik Konfidenzintervall) Ein Stichprobenergebnis X = k liegt vor. Welche Wahrscheinlichkeiten k¨onnen dem Zufallsversuch mit vorgegebener Sicherheitswahrscheinlichkeit zugrunde liegen? Die rechte Seite von X ε · n + 0,5 P ( | n − p | ≤ ε) ≈ 2Φ( )−1 σ soll also mindestens z. B. 90 % sein. F¨ ur
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