3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997

 Documents

 15 views
of 6
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Description
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik Dienstag, 18. Februar 2014 5 ck – hiebaum Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant…
Share
Transcript
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik Dienstag, 18. Februar 2014 5 ck – hiebaum Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren Funktionsgraph wie in der Grafik verläuft: Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der Funktionsgleichung, der diesen Funktionsgraph ergibt. f(x) = a x (x – k)2 = a x3 + b x2 + c x b) Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der kleinsten Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form: y = a x3 + b x x 2 4 6 y 900 1.200 800 4 F(a,b) =  ; ; (axi3 + bx – yi)2  Min  i=1 Error! = 0  a Error!ti6 + b Error!xi4 = Error!yi xi3 ∧ Error! = 0  a Error!xi4 + b 4 4 ; ; xi2 =  ; ; yi xi i=1 i=1 50 816 a + 1 568 b = 256 800 ∧ 1 568 a + 56 b = 11 400  a = –9,03 b = 456,35 P(t) = 456 t – 9,03 t3 2. a) Kreuzen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an: wahr falsch Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die Abweichungen der y-Werte (gerechnet – tatsächlich) quadriert, damit das Vorzeichen der Differenz immer positiv x ist Alle partiellen Ableitungen der Funktion F(a, b, …) =  (Y – y)2 müssen gleich Null x sein, weil möglichst viele Differenzen Y – y gleich Null sein müssen Für die optimalen Parameter a, b, … der Funktion F(a, b, …) = (Y – y)2 sind alle x partiellen Ableitungen gleich 0 b) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form R(s) = Error! aus folgenden Daten. Berechnen Sie insbesondere den Faktor k. s 5 10 15 R 1.000 2.000 10.000 3 F(a) =  ; ; (a si3 – Ri)2  Min  Error! = Error!2 (a si3 – Ri) si3 = 0  12 406 250 a = 35 i=1 875 000  s3;0 a = 2,892 k = 0,35 daher R(s) = 35 A 3. a) Eine Firma ermittelt für ein Produkt den Zusammenhang zwischen Werbeaufwand w und abgesetzter Menge q: w in 100 000 EUR 2 2,5 3 4 q in 1 000 Stk. 30 50 55 58 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form q(w) = aw2 + bw 392,06 a + 114,63 b = 1 855,5 ∧ 114,63 a + 35,25 b = 582  q(w) = 22,74 w – 1,92 w2 b) Die Funktion für die Situation in 3.a) laute: q(w) = 20 w – 2 w2. Einheiten wie in 3.a) Berechnen Sie, ab welchem Werbeaufwand in Euro die abgesetzte Menge wieder sinken würde. Geben Sie ein vernünftiges Intervall (in Euro) für die Validität (Gültigkeit) des Modells an. Berechnen Sie den Grenznutzen eines Werbe-Euros (also die Zunahme des Absatzes in Stk. pro eingesetztem Euro) bei einem schon erreichten Absatz von 48 000 Stk.. Error! = 20 – 4w = 0  w = 5 also w ∈ [0 / 5] 48 = 20w – 2w2  w = 4 als relevante Lösung Error!(4) = 16 = Error!pc/EUR = 0,04 Stk. pro EUR Ab einem Werbeaufwand von EUR 500 000,-- würden in diesem Modell die Absätze wieder sinken. Für ein valides Modell sollte also w ≤ 5 sein. Grundsätzlich sollten Berechnungen nicht aus dem Bereich von EUR 200 000,-- bis EUR 400.000 herausfallen, weil man dann extrapolieren würde. Um bei einem Absatz von 48 000 Stk. einen Mehrabsatz von 40 Stk. zu erzielen, ist ein Mehraufwand von EUR 1.000,-- notwendig. 4. a) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf unter Berücksichtigung der Nullstellen. Berechnen Sie den maximalen Zufluss. Error!= 6 (3t2 – 60t + 200) = 0  t1 = 4,226 und t2 = 15,774 z(4,226) = 2 309,4 Der maximale Zufluss beträgt 2 309,4 ME/d. b) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 1 000 ME war. Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20. Zusatz (3 Punkte): Begründen Sie, warum man diesen Wert auch ohne Rechnung ermitteln kann. M(t) = Error! = 1,5 t4 – 60 t3 + 1 200 t2 + C mit M(0) = 1 000 = C M(t) hat keine Nullstellen, M(20) = 1 000 ME Das Becken wird nicht leer, die Restmenge ist genau so groß wie die Anfangsmenge (1 000 ME), weil in den ersten 10 Tagen so viel Wasser zuläuft, wie in den letzten 10 Tage abläuft (die Flächen unterhalb des Funktionsgraphen von z(t) zwischen 0 und 10 und zwischen 10 und 20 sind gleich groß. 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik Dienstag, 18. Februar 2014 5 ck – hiebaum Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren Funktionsgraph wie in der Grafik verläuft: Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der Funktionsgleichung, der diesen Funktionsgraph ergibt. f(x) = a x (x – k)2 = a x3 + b x2 + c x b) Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der klein- sten Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form: y = a x3 + b x x 2 4 6 y 9.000 12.000 8.000 4 F(a,b) =  ; ; (axi3 + bx – yi)2  Min  i=1 Error! = 0  a Error!ti6 + b Error!xi4 = Error!yi xi3 ∧ Error! = 0  a Error!xi4 + b 4 4 ; ; xi2 =  ; ; yi xi i=1 i=1 50 816 a + 1 568 b = 2 568 000 ∧ 1 568 a + 56 b = 114 000  a = –90,3 b = 4 563,5 P(t) = 4 564 t – 90,3 t3 2. a) Kreuzen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an: wahr falsch Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die Abweichungen der y-Werte (gerechnet – tatsächlich) quadriert, weil sonst die partiellen Ableitungen der Funktion x F(a, b, …) nicht Null würden. Alle partiellen Ableitungen der Funktion F(a, b, …) =  (Y – y)2 müssen gleich Null x sein, weil man ein Minimum der Funktion F(a, b, …) sucht. Für die optimalen Parameter a, b, … der Funktion F(a, b, …) = (Y – y)2 sind alle x partiellen Ableitungen positiv b) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form R(s) = Error! aus folgenden Daten. Berechnen Sie insbesondere den Faktor k. s 5 10 15 R 100 200 1.000 3 F(a) =  ; ; (a si3 – Ri)2  Min  Error! = Error!2 (a si3 – Ri) si3 = 0  12 406 250 a = 3 i=1 587 500  s3;3 a = 0,2892 k = 3,5 daher R(s) = 5 B 3. a) Eine Firma ermittelt für ein Produkt den Zusammenhang zwischen Werbeaufwand w und abgesetzter Menge q: w in 100 000 EUR 2 2,5 3 4 q in 1 000 Stk. 30 50 55 58 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form q(w) = aw2 + bw 392,06 a + 114,63 b = 1 855,5 ∧ 114,63 a + 35,25 b = 582  q(w) = 22,74 w – 1,92 w2 b) Die Funktion für die Situation in 3.a) laute: q(w) = 20 w – w2. Einheiten wie in 3.a) Berechnen Sie, ab welchem Werbeaufwand in Euro die abgesetzte Menge wieder sinken würde. Geben Sie ein vernünftiges Intervall (in Euro) für die Validität (Gültigkeit) des Modells an. Berechnen Sie den Grenznutzen eines Werbe-Euros (also die Zunahme des Absatzes in Stk. pro eingesetztem Euro) bei einem schon erreichten Absatz von 84 000 Stk.. Error! = 20 – 2w = 0  w = 10 also w ∈ [0 / 10] 84 = 20w – w2  w = 6 als relevante Lösung Error!(6) = 8 = Error!pc/EUR = 0,0133 Stk. pro EUR Ab einem Werbeaufwand von EUR 1 000 000,-- würden in diesem Modell die Absätze wieder sinken. Für ein valides Modell sollte also w ≤ 10 sein. Grundsätzlich sollten Berechnungen nicht aus dem Bereich von EUR 200 000,-- bis EUR 400.000 herausfallen, weil man dann extrapolieren würde. Um bei einem Absatz von 84 000 Stk. einen Mehrabsatz von 13,3 Stk. zu erzielen, ist ein Mehraufwand von EUR 1.000,-- notwendig. 4. a) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf unter Berücksichtigung der Nullstellen. Berechnen Sie den maximalen Zufluss. Error!= 6 (3t2 – 60t + 200) = 0  t1 = 4,226 und t2 = 15,774 z(4,226) = 2 309,4 Der maximale Zufluss beträgt 2 309,4 ME/d. b) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 1 000 ME war. Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20. Zusatz (3 Punkte): Begründen Sie, warum man diesen Wert auch ohne Rechnung ermitteln kann. M(t) = Error! = 1,5 t4 – 60 t3 + 1 200 t2 + C mit M(0) = 1 000 = C M(t) hat keine Nullstellen, M(20) = 1 000 ME Das Becken wird nicht leer, die Restmenge ist genau so groß wie die Anfangsmenge (1 000 ME), weil in den ersten 10 Tagen so viel Wasser zuläuft, wie in den letzten 10 Tage abläuft (die Flächen unterhalb des Funktionsgraphen von z(t) zwischen 0 und 10 und zwischen 10 und 20 sind gleich groß. 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik Dienstag, 18. Februar 2014 5 ck – hiebaum Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren Funktionsgraph wie in der Grafik verläuft: Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der Funktionsgleichung, der diesen Funktionsgraph ergibt. b) Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der klein- sten Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form: y = a x3 + b x x 2 4 6 y 900 1.200 800 2. a) Kreuzen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an: wahr falsch Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die Abweichungen der y-Werte (gerechnet – tatsächlich) quadriert, damit das Vorzeichen der Differenz immer positiv ist Alle partiellen Ableitungen der Funktion F(a, b, …) =  (Y – y)2 müssen gleich Null sein, weil möglichst viele Differenzen Y – y gleich Null sein müssen Für die optimalen Parameter a, b, … der Funktion F(a, b, …) = (Y – y)2 sind alle partiellen Ableitungen gleich 0 b) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form R(s) = Error! aus folgenden Daten. Berechnen Sie insbesondere den Faktor k. s 5 10 15 R 1.000 2.000 10.000 3. a) Eine Firma ermittelt für ein Produkt den Zusammenhang zwischen Werbeaufwand w und abgesetzter Menge q: w in 100 000 EUR 2 2,5 3 4 q in 1 000 Stk. 30 50 55 58 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form q(w) = aw2 + bw b) Die Funktion für die Situation in 3.a) laute: q(w) = 20 w – 2 w2. Einheiten wie in 3.a) Berechnen Sie, ab welchem Werbeaufwand in Euro die abgesetzte Menge wieder sinken würde. Geben Sie ein vernünftiges Intervall (in Euro) für die Validität (Gültigkeit) des Modells an. Berechnen Sie den Grenznutzen eines Werbe-Euros (also die Zunahme des Absatzes in Stk. pro eingesetztem Euro) bei einem schon erreichten Absatz von 48 000 Stk.. 4. a) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf unter Berücksichtigung der Nullstellen. Berechnen Sie den maximalen Zufluss. b) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 1 000 ME war. Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20. Zusatz (3 Punkte): Begründen Sie, warum man diesen Wert auch ohne Rechnung ermitteln kann. 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik Dienstag, 18. Februar 2014 5 ck – hiebaum Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) Der Zufluss in ein Becken verläuft nach einer Funktion, deren Funktionsgraph wie in der Grafik verläuft: Ermitteln Sie einen algebraischen Ansatz für die Form der Funktionsgleichung, der diesen Funktionsgraph ergibt. b) Ermitteln Sie für folgende Daten eine im Sinne der klein- sten Quadrate möglichst gut passende Funktion der Form: y = a x3 + b x x 2 4 6 y 9.000 12.000 8.000 2. a) Kreuzen Sie den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen an: wahr falsch Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die Abweichungen der y-Werte (gerechnet – tatsächlich) quadriert, weil sonst die partiellen Ableitungen der Funktion F(a, b, …) nicht Null würden. Alle partiellen Ableitungen der Funktion F(a, b, …) =  (Y – y)2 müssen gleich Null sein, weil man ein Minimum der Funktion F(a, b, …) sucht. Für die optimalen Parameter a, b, … der Funktion F(a, b, …) = (Y – y)2 sind alle partiellen Ableitungen positiv b) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form R(s) = Error! aus folgenden Daten. Berechnen Sie insbesondere den Faktor k. s 5 10 15 R 100 200 1.000 3. a) Eine Firma ermittelt für ein Produkt den Zusammenhang zwischen Werbeaufwand w und abgesetzter Menge q: w in 100 000 EUR 2 2,5 3 4 q in 1 000 Stk. 30 50 55 58 Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion der Form q(w) = aw2 + bw b) Die Funktion für die Situation in 3.a) laute: q(w) = 20 w – w2. Einheiten wie in 3.a) Berechnen Sie, ab welchem Werbeaufwand in Euro die abgesetzte Menge wieder sinken würde. Geben Sie ein vernünftiges Intervall (in Euro) für die Validität (Gültigkeit) des Modells an. Berechnen Sie den Grenznutzen eines Werbe-Euros (also die Zunahme des Absatzes in Stk. pro eingesetztem Euro) bei einem schon erreichten Absatz von 84 000 Stk.. 4. a) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Skizzieren Sie den Funktionsverlauf unter Berücksichtigung der Nullstellen. Berechnen Sie den maximalen Zufluss. b) Der Zu- und Abfluss in bzw. aus einem Staubecken erfolgt mit z(t) = 6 t (10 – t) (20 – t) für 0 ≤ t ≤ 20. t in Tagen, z in ME/d. Negative Werte von z bedeuten Abfluss. Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M im Becken, wenn M(0) = 1 000 ME war. Berechnen Sie, ob das Becken leer wird. Wenn ja, berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn nein, berechnen Sie die Restmenge zum Zeitpunkt t = 20. Zusatz (3 Punkte): Begründen Sie, warum man diesen Wert auch ohne Rechnung ermitteln kann.
Related Search
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks