3 Schätzung extremer Quantile

 Statistik Und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Quantile Andreas Handl Inhaltsverzeichnis 1 Was sind Quantile und wozu ben¨ otigt man sie? 2 2 Sch¨ atzung von Quantilen 5 2.1 Sch¨atzung von Quantilen bei…
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Quantile Andreas Handl Inhaltsverzeichnis 1 Was sind Quantile und wozu ben¨ otigt man sie? 2 2 Sch¨ atzung von Quantilen 5 2.1 Sch¨atzung von Quantilen bei bekannter Verteilungsklasse . . . 5 2.2 Sch¨atzung von Quantilen bei klassierten Daten . . . . . . . . . 8 2.3 Sch¨atzung der Quantile aus der Urliste . . . . . . . . . . . . . 9 3 Sch¨ atzung extremer Quantile 20 4 Anhang 28 4.1 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 1 Was sind Quantile und wozu ben¨ otigt man sie? Wir betrachten im Folgenden eine stetige Zufallsvariable X mit Verteilungs- funktion FX (x). Es gilt FX (x) = P (X ≤ x) Mit der Verteilungsfunktion kann man also Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Oft ist man aber nicht an Wahrscheinlichkeiten interessiert, sondern man gibt eine Wahrscheinlichkeit p vor und sucht den Wert von X, der mit Wahr- ¨berschritten wird. Man spricht vom Quantil xp . F¨ scheinlichkeit p nicht u ur xp gilt: FX (xp ) = p (1) Man bestimmt Quantile also u ¨ber die Verteilungsfunktion. Hierbei muss man bei einer stetigen Zufallsvariablen X zwei F¨alle unterscheiden. Ist die Verteilungsfunktion FX (x) streng monoton wachsend, so sind alle Quantile eindeutig definiert. Es gilt xp = FX−1 (p) (2) In Abbildung 1 wird gezeigt, wie man das 0.8413-Quantil der Standardnor- malverteilung bestimmen kann. 0.9000 0.8413 0.8000 0.7000 0.6000 F(x) 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 −3 −2 −1 0 1 2 3 x Abbildung 1: Bestimmung des 0.8413-Quantils der Standardnormalverteilung Bei der Normalverteilung kann man die inverse Verteilungsfunktion nicht in expliziter Form angeben. Man muss aber nur die Quantile zp der Stan- ur eine mit den Parametern µ und σ 2 dardnormalverteilung tabellieren. F¨ 2 normalverteilte Zufallsvariable gilt xp = µ + zp σ (3) Bei der Exponentialverteilung mit Verteilungsfunktion  1 − e−λx f¨ ur x > 0 FX (x) =  0 sonst kann man die Quantile in Abh¨angigkeit von p explizit angeben: 1 xp = − ln (1 − p) (4) λ Dies sieht man folgendermaßen: 1 − e−λxp = p ⇐⇒ e−λxp = 1 − p ⇐⇒ −λxp = ln(1 − p) 1 ⇐⇒ xp = − ln (1 − p) λ Ist die Verteilungsfunktion FX (x) einer stetigen Zufallsvariablen X nicht streng monoton wachsend, so ist xp f¨ ur einen oder mehrere Werte von p nicht eindeutig definiert, da f¨ ur alle Punkte aus einem Intervall die Vertei- lungsfunktion den Wert p annimmt. In diesem Fall w¨ahlt man den kleinsten Wert von X, f¨ ur den die Verteilungsfunktion gleich p ist. Abbildung 2 zeigt dies. 1.0 0.8 0.6 F(x) 0.4 0.2 0.0 0 1 2 3 4 x Abbildung 2: Bestimmung eines Quantils, falls die Verteilungsfunktion nicht streng monoton wachsend ist 3 Die folgende Definition umfasst beide F¨alle xp = F ← (p) = inf{x|FX (x) ≥ p} (5) Schauen wir uns einige Beispiele an, bei denen nach Quantilen gefragt wird. Beispiel 1 40 Prozent der Fl¨ache Hollands liegt unter dem Meeresspiegel. Um sich ge- ¨ gen Uberschwemmungen zu sch¨ utzen, werden Deiche gebaut. Diese sollten nat¨ urlich hoch genug sein, um jeder Sturmflut zu trotzen. Es wird gefordert, ¨ dass die Deiche so hoch sind, dass die Wahrscheinlichkeit einer Uberschwem- mung 0.0001 betr¨agt. Ist X die H¨ohe des Wasserspiegels, so wird x0.9999 ge- sucht. Der Artikel von de Haan (siehe dazu (4)) besch¨aftigt sich mit diesem Problem. Beispiel 2 Bei Finanzwerten ist der maximale Verlust von Interesse. Der Value at risk (Var) ist derjenige Verlust aus dem Halten eines Finanzwertes, der mit einer hohen Wahrscheinlichkeit nicht u ¨berschritten wird. Ist X also der Verlust, und p die Wahrscheinlichkeit, so ist xp gesucht. Beispiel 3 Meister (14) besch¨aftigt sich in seiner Arbeit mit unterschiedlichen Aspekten der Quantilsch¨atzung. Als ein Beispiel w¨ahlt er die Bestimmung der Ober- grenze f¨ ur den Anteil an Bindegewebe in Wurst. Gesucht ist der Anteil an Bindegewebe, der mit Wahrscheinlichkeit p nicht u ¨berschritten wird. Quantile werden auch benutzt, um Charakteristika von Verteilungen zu beschreiben. Die Lage wird durch den Median x0.5 und die Variabilit¨ at durch den Quartilsabstand IQR = x0.75 − x0.25 (6) beschrieben. Eine Maßzahl f¨ ur die Schiefe ist der Koeffizient von Bowley (siehe dazu (2)): (x0.75 − x0.5 ) − (x0.5 − x0.25 ) QS = (7) x0.75 − x0.25 und eine Maßzahl f¨ ur das Verhalten der Verteilung im Zentrum und an den R¨andern ist das Kurtosis-Maß von Moors (siehe dazu (16)): (x0.875 − x0.625 ) − (x0.375 − x0.125 ) KM = (8) x0.75 − x0.25 Mit der Maßzahl f¨ ur die Schiefe werden wir uns im Kapitel u ¨ber Symmetrie besch¨aftigen. 4 2 Sch¨ atzung von Quantilen Da die Verteilung der Grundgesamtheit in der Regel nicht bekannt ist, muss man Quantile sch¨atzen. Wir ziehen eine Zufallsstichprobe x1 , . . . , xn aus der Grundgesamtheit. Die Beobachtungen x1 , . . . , xn sind also Realisationen der unabh¨angigen, identisch verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn . Bei der Sch¨atzung der Quantile geht man in Abh¨angigkeit von den Annah- men, die man u ¨ber die Grundgesamtheit machen kann, unterschiedlich vor. Wir gehen zun¨achst davon aus, dass die Verteilungsklasse der Grundgesamt- heit bekannt ist. 2.1 Sch¨atzung von Quantilen bei bekannter Verteilungs- klasse Ist das parametrische Modell bis auf die Werte der Parameter bekannt, so ist die Quantilsch¨atzung besonders einfach, wenn es sich um eine Lage-Skalen- Familie von Verteilungen handelt. Definition 2.1 Die Verteilung einer Zufallsvariablen X geh¨ort zu einer Lage-Skalen-Familie von Verteilungen, wenn eine Verteilungsfunktion F (x) und Parameter θ und λ existieren, sodass f¨ ur die Verteilungsfunktion von X gilt   x−θ FX (x) = F (9) λ Dabei ist θ ein Lage- und λ ein Skalenparameter. Beispiel 4 Die Verteilungsfunktion FX (x) einer mit den Parametern µ und σ 2 normal- verteilten Zufallsvariablen geh¨ort zu einer Lage-Skalen-Familie von Vertei- lungen, da gilt   x−µ FX (x) = Φ σ Dabei ist Φ(z) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, bei der µ gleich 0 und σ gleich 1 ist. Ist zp das p-Quantil von F (z), so ist bei einer Lage-Skalen-Familie von Ver- teilungen das p-Quantil von X gleich xp = θ + zp λ (10) 5 Dies sieht man folgendermaßen:     xp − θ xp − θ FX (xp ) = F ⇐⇒ p = F λ λ xp − θ ⇐⇒ F ← (p) = λ xp − θ ⇐⇒ zp = λ ⇐⇒ xp = θ + zp λ Beispiel 4 (fortgesetzt) ur eine mit den Parametern µ und σ 2 normalverteilte Zufallsvariable gilt: F¨ xp = µ + zp σ (11) Dabei ist zp das p-Quantil der Standardnormalverteilung. In einer Lage-Skalen-Familie von Verteilungen erh¨alt man einen Sch¨atzer xˆp von xp , indem man die Parameter θ und λ sch¨atzt und in Gleichung (10) einsetzt: xˆp = θˆ + zp λ ˆ (12) Beispiel 4 (fortgesetzt) Die Maximum-Likelihood-Sch¨atzer von µ und σ bei Normalverteilung sind 1  n ˆ=x= µ xi (13) n i=1 und   1  n σ ˆ= (xi − x¯)2 (14) n i=1 Der Sch¨atzer σ ˆ ist nicht erwartungstreu. Dividiert man σ ˆ durch Γ[0.5(n − 1)] an = 2/n Γ[0.5n] so erh¨alt man eine erwartungstreue Sch¨atzfunktion von σ (siehe dazu (15)). Dabei ist ∞ Γ(n) = xn−1 e−x dx (15) 0 6 die Gammafunktion. ur n > 10 kann man an approximieren durch F¨ 3 an = 1 + 4(n − 1) siehe dazu Johnson und Kotz (15). Tabelle 1 zeigt die Werte von an f¨ ur n = 6, . . . , 12. Tabelle 1: exakte und approximative Werte von an n 6 7 8 9 10 11 12 an exakt 1.1512 1.1259 1.1078 1.0942 1.0837 1.0753 1.0684 an app. 1.1500 1.1250 1.1071 1.0938 1.0833 1.0750 1.0682 Beispiel 4 (fortgesetzt) In einer Vorlesung wurde unter anderem nach der K¨orpergr¨oße der m¨annli- chen Studierenden gefragt. Die Daten von 179 Personen sind im Anhang auf Seite 28 zu finden. Wir wollen x0.99 sch¨atzen und unterstellen Normalverteilung. Es gilt x¯ = 182.2 und σˆ 2 = 42.58. Mit z0.99 = 2.3263 gilt xˆp = 182.2 + 2.3263 · 6.53 = 197.39 F¨ ur den erwartungstreuen Sch¨atzer ben¨otigen wir a179 . Es gilt 3 a179 = 1 + = 1.0042 4(179 − 1) Somit erhalten wir den erwartungstreuen Sch¨atzer xˆp = 182.2 + 2.3263 · 6.53/1.0042 = 197.33 Meister (14) schl¨agt in seiner Arbeit noch andere Sch¨atzer von µ und σ bei Normalverteilung vor, setzt sie in Gleichung 11 auf Seite 6 ein und vergleicht die resultierenden Quantilsch¨atzer in einer Simulationsstudie. 7 2.2 Sch¨ atzung von Quantilen bei klassierten Daten Oft liegen die Daten in Form von Klassen vor. Beispiel 4 (fortgesetzt) Wir betrachten wieder die K¨orpergr¨oße der 179 Studierenden und bilden 8 ¨aquidistante Klassen der Breite 5. Die Untergrenze der ersten Klasse ist 160. Die H¨aufigkeitsverteilung ist in Tabelle 2 zu finden. Tabelle 2: Die H¨aufigkeitstabelle des Merkmals K¨orpergr¨oße k x∗k−1 x∗k nk hk Fˆ x∗k−1 Fˆ (x∗k ) 1 160 165 1 0.0056 0.0000 0.0056 2 165 170 3 0.0168 0.0056 0.0224 3 170 175 17 0.0950 0.0224 0.1174 4 175 180 31 0.1732 0.1174 0.2906 5 180 185 68 0.3799 0.2906 0.6705 6 185 190 34 0.1899 0.6705 0.8604 7 190 195 19 0.1061 0.8604 0.9665 8 195 200 6 0.0335 0.9665 1.0000 Die Werte der empirischen Verteilungsfunktion ist nur an den Klassengrenzen bekannt. Man unterstellt, dass die Werte innerhalb der Klassen gleichverteilt sind, sodass die empirische Verteilungsfunktion innerhalb der Klassen linear ist. Beispiel 4 (fortgesetzt) Abbildung 3 zeigt die empirische Verteilungsfunktion. 1.0 0.8 0.6 c(0, fx[1]) 0.4 0.2 0.0 160 170 180 190 200 c(x[1], x[2]) Abbildung 3: Empirische Verteilungsfunktion bei klassierten Daten 8 Um Quantile zu bestimmen, gehen wir wie bei einer theoretischen ∗ Verteilung vor. Sind xk−1 und xk die Grenzen der i-ten Klasse und F xk−1 und Fˆ (x∗k ) ∗ ∗ ˆ der Wert der empirischen Verteilungsfunktion an diesen Klassengrenzen, so bestimmt man zun¨achst die Klasse k, f¨ ur die gilt Fˆ x∗k−1 ≤ p ≤ Fˆ (x∗k ) Der Sch¨atzer von xp ist p − Fˆ (x∗k−1 ) xˆp = x∗k−1 + · ∆k (16) hk Dabei ist hk die relative H¨aufigkeit der k-ten Klasse und ∆k die Breite der k-ten Klasse. Beispiel 4 (fortgesetzt) Wir bestimmen den Median x0.5 . Dieser liegt in der f¨ unften Klasse. Es gilt 0.5 − 0.2906 xˆ0.5 = 180 + · 5 = 182.76 0.3799 Wir bestimmen auch noch x0.99 . Es liegt in der achten Klasse. Es gilt 0.99 − 0.9665 xˆ0.99 = 195 + · 5 = 198.51 0.0335 2.3 Sch¨ atzung der Quantile aus der Urliste Wir wollen nun Quantile aus Daten sch¨atzen, bei denen keine Klassen gebil- det wurden. Ausgangspunkt der Quantilsch¨atzung ist die empirische Ver- teilungsfunktion Fn (x). Die empirische Verteilungsfunktion an der Stelle x ist also gleich der Anzahl der Beobachtungen, die x nicht u ¨bertreffen. Sie ist eine Treppenfunktion. Beispiel 5 Betrachten wir hierzu folgenden Datensatz vom Umfang n = 10: 47 48 49 51 52 53 54 57 65 70 Abbildung 4 zeigt die empirische Verteilungsfunktion. 9 1.0 0.8 0.6 Fn(x) 0.4 0.2 0.0 50 55 60 65 70 x Abbildung 4: empirische Verteilungsfunktion Die empirische Verteilungsfunktion ist eine Treppenfunktion, sodass ihre In- verse nicht eindeutig definiert ist. Es ist naheliegend, Quantile dadurch zu sch¨atzen, dass man in Gleichung 5 auf Seite 4 FX (x) durch Fn (x) ersetzt: xˆp = inf{x|Fn (x) ≥ p} (17) Da die empirische Verteilungsfunktion st¨ uckweise konstant ist, erhalten wir folgendes Ergebnis i−1 i xˆp = x(i) f¨ ur n−1 F¨ n wird hingegen jedem p ein anderes xp zugeordnet. Die beiden R¨ander der Verteilung werden also unterschiedlich behandelt. Dieser Nachteil kann dadurch behoben werden, dass die relative H¨aufigkeit i/n der i-ten Orderstatistik x(i) zu gleichen Teilen auf die Bereiche unterhalb und oberhalb von x(i) aufgeteilt wird. Somit gilt i − 0.5 F˜ (x(i) ) = n Die Grafik rechts oben in Abbildung 5 zeigt die Approximation. Als Quantilsch¨atzer ergibt sich in diesem Fall:    x(1) ur p < 0.5 f¨   n xˆp = (1 − g) x(i) + g x(i+1) f¨ ur 0.5 ≤ p ≤ n−0.5 (22)   n n   x(n) ur p > n−0.5 f¨ n mit i = np + 0.5 und g = np + 0.5 − i. Dieser Sch¨atzer wurde von Hazen (9) vorgeschlagen. Beispiel 5 (fortgesetzt) Sei p = 0.25. Somit ist i = 10 · 0.25 + 0.5 = 3 = 3 und g = 10 · 0.25 + 0.5 − 3 = 0. Somit gilt xˆ0.25 = (1 − 0) · x(3) + 0 · x(4) = 49 Sei p = 0.5. Somit ist i = 10 · 0.5 + 0.5 = 5.5 = 5 und g = 10 · 0.5 + 0.5 − 5 = 0.5. Somit gilt xˆ0.5 = (1 − 0.5) · x(5) + 0.5 · x(6) = 52.5 Sei p = 0.99. Da 0.99 gr¨oßer als (10 − 0.5)/10 = 0.95 ist, gilt xˆ0.99 = 70. 13 Die beiden bisher betrachteten Sch¨atzer wurden heuristisch entwickelt. Sy- stematische Zug¨ange nehmen die Gleichung FX (x(i) ) = pi als Ausgangspunkt. W¨ urden wir FX (x) kennen, k¨onnten wir sofort pi ange- ben. Da FX (x) aber unbekannt ist, ber¨ ucksichtigen wir, dass x(i) die Reali- sation der Zufallsvariablen X(i) ist. Wir betrachten also die Zufallsvariable FX (X(i) ) und w¨ahlen pi als Charakteristikum der Verteilung von FX (X(i) ). Sinnvolle Charakteristika sind der Erwartungswert, der Modus und der Me- dian. Die Zufallsvariable FX (X(i) ) besitzt eine Beta-verteilung mit den Pa- rametern a = i und b = n − i + 1, siehe dazu Randles und Wolfe (17), S. 7. Es gilt also   1  ti−1 (1 − t)n−i f¨ur 0 < t < 1 fX(i) (t) = B(i, n − i + 1) (23)   0 sonst mit 1 B(a, b) = wa−1 (1 − w)b−1 dw 0 Somit gilt i E(X(i) ) = (24) n+1 Der Modus ist der Wert, bei dem die Dichtefunktion ihr Maximum annimmt. 1 Da B(i,n−i+1) eine multiplikative Konstante ist, m¨ ussen wir das Maximum der Funktion g(t) = ti−1 (1 − t)n−i bestimmen. Wir bestimmen das Maximum von ln g(t) = (i − 1) ln(t) + (n − i) ln(1 − t) Es gilt d i−1 n−i ln g(t) = − dt t 1−t Notwendige Bedingung f¨ ur einen Extremwert in t ist also i−1 n−i = t 1−t 14 L¨osen wir diese Gleichung nach t auf, so erhalten wir i−1 t= (25) n−1 Gleichung 24 auf Seite 14 legt folgende Approximation nahe: i F˜ (x(i) ) = n+1 Die Grafik links unten in Abbildung 5 zeigt die Approximation. Als Quantilsch¨atzer ergibt sich in diesem Fall:  1   x(1) f¨ ur p < n+1   1 xˆp = (1 − g) x(i) + g x(i+1) f¨ ur n+1 ≤ p ≤ n+1 n (26)     n x(n) f¨ ur p > n+1 mit i = (n + 1) p und g = (n + 1) p − i. Beispiel 5 (fortgesetzt) Sei p = 0.25. Somit ist i = 11 · 0.25 = 2.75 = 2 und g = 11 · 0.25 − 2 = 0.75. Somit gilt xˆ0.25 = (1 − 0.75) · x(2) + 0.75 · x(3) = 48.75 Sei p = 0.5. Somit ist i = 11 · 0.5 = 5.5 = 5 und g = 11 · 0.5 − 5 = 0.5. Somit gilt xˆ0.5 = (1 − 0.5) · x(5) + 0.5 · x(6) = 52.5 Sei p = 0.99. Da 0.99 gr¨oßer als 10/11 = 0.91 ist, gilt xˆ0.99 = 70. Gleichung 25 auf Seite 15 legt folgende Approximation nahe: i−1 F˜ (x(i) ) = n−1 Hier wird jedem p ein anderer Wert von xp zugeordnet. Die Grafik rechts unten in Abbildung 5 zeigt die Approximation. Als Quantilsch¨atzer ergibt sich in diesem Fall: xˆp = (1 − g) x(i) + g x(i+1) (27) mit i = (n − 1) p + 1 und g = (n − 1) p + 1 − i. 15 Beispiel 5 (fortgesetzt) Sei p = 0.25. Somit ist i = 9 · 0.25 + 1 = 3.25 = 3 und g = 9 · 0.25 + 1 − 3 = 0.25. Somit gilt xˆ0.25 = (1 − 0.25) · x(3) + 0.25 · x(4) = 49.5 Sei p = 0.5. Somit ist i = 9 · 0.5 + 1 = 5.5 = 5 und g = 9 · 0.5 + 1 − 5 = 0.5. Somit gilt xˆ0.5 = (1 − 0.5) · x(5) + 0.5 · x(6) = 52.5 Sei p = 0.99. Somit ist i = 9 · 0.99 + 1 = 9.91 = 9 und g = 9 · 0.99 + 1 − 9 = 0.91. Somit gilt xˆ0.99 = (1 − 0.91) · x(9) + 0.91 · x(10) = 69.55 Dieser Sch¨atzer hat den Vorteil, dass man Quantile, die zu kleinem oder großem p geh¨oren, nicht ausschließlich durch das Minimum oder das Maxi- mum sch¨atzt. Alle diese Sch¨atzer sind Spezialf¨alle von: i−γ F˜ (x(i) ) = (28) n+1−γ−δ Die zugeh¨orige Klasse von Quantilsch¨atzern ist:  1−γ   x(1) f¨ ur p < n+1−γ−δ   1−γ xˆp = (1 − g) x(i) + g x(i+1) f¨ ur n+1−γ−δ ≤ n+1−γ−δ n−γ (29)     n−γ x(n) f¨ ur p > n+1−γ−δ mit i = (n + 1 − γ − δ) p + γ und g = (n + 1 − γ − δ) p + γ − i. Die bisher betrachteten Sch¨atzer sind Spezialf¨alle mit: • Quantilsch¨atzer in Gleichung (20) auf Seite 11: γ = 0 , δ = 1 • Quantilsch¨atzer in Gleichung (22) auf Seite 13: γ = 0.5 , δ = 0.5 • Quantilsch¨atzer in Gleichung (26) auf Seite 15: γ = 0 , δ = 0 • Quantilsch¨atzer in Gleichung (27) auf Seite 15: γ = 1 , δ = 1 16 Hyndman und Fan (13) betrachten noch zwei weitere Spezialf¨alle. W¨ahlt man γ = δ = 1/3, erh¨alt man eine Approximation des Medians der Verteilung von FX (X(i) ). Von Blom (1) wurde γ = δ = 3/8. Gilt γ = δ, so wird der Median nach der Formel in Gleichung 21 auf Seite 13 gesch¨atzt. Dies zeigen Hyndman und Fan (13). Welchen dieser Sch¨atzer sollte man verwenden? Hyndman und Fan (13) geben 6 Kriterien an, die Quantilsch¨atzer erf¨ ullen sollten. Nur der Quantilsch¨atzer mit γ = δ = 0.5 erf¨ ullt alle 6 Kriterien. Man kann die Sch¨atzer aber auch hin- sichtlich ihrer Effizienz mit einer Simulationsstudie vergleichen. Diese wurde von Dielman, Lowry und Pfaffenberger (5) und Handl (8) durchgef¨ uhrt. Be- vor wir auf das Ergebnis dieser Studie eingehen, schauen wir uns noch einen weiteren Quantilsch¨atzer an. Alle bisher betrachteten Quantilsch¨atzer verwenden bei der Sch¨atzung eines Quantils h¨ochstens zwei Beobachtungen. Harrell und Davis (siehe (10)) schla- gen einen Quantilsch¨atzer vor, der auf allen Beobachtungen beruht. Sie gehen aus von der geordneten Stichprobe x(1) , . . . , x(n) . Die zu diesen Beobachtun- gen geh¨orenden Zufallsvariablen heißen Orderstatistiken X(i) , i = 1, . . . , n. Die Orderstatistiken sind im Gegensatz zu den Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn nicht unabh¨angig und auch nicht identisch verteilt. F¨ ur die Dichtefunktion gj (x) von X(j) gilt 1 gj (x) = F (x)j−1 (1 − F (x))n−j (30) β(j, n + 1 − j) mit 1 B(a, b) = wa−1 (1 − w)b−1 dw 0 (siehe dazu (17)). Somit ist der Erwartungswert von X(j) gleich ∞ 1 E X(j) = x F (x)j−1
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