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Anwendungen von Stapeln und Schlangen Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 7 Prof. Dr. Thomas Ottmann Algorithmen & Datenstrukturen,…
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Anwendungen von Stapeln und Schlangen Informatik II, SS 2008 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung 7 Prof. Dr. Thomas Ottmann Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für Informatik Fakultät für Angewandte Wissenschaften Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Lineare Listen (1) • Lineare Anordnung von Elementen eines Grundtyps (elementarer Datentyp oder Grundklasse, etwa Object) • Grundtyp ist oft weiter strukturiert, etwa class Grundklasse { int key; // eindeutiger Schlüssel Infoklasse info; // weitere Informationen } • Bsp: Liste von Zahlen, Zeichenkette, Telefonbuch • Operationen (Methoden) – Initialisieren (leere Liste, . . . ) – Länge bestimmen – Suchen (Inhalts-basiert), kann aktuelles Element festlegen – Positionieren (nach laufender Nummer), . . . – Einfügen, an gegebener oder aktueller Position – Entfernen, . . . – Verketten, Ausgeben, Teilliste bilden, Umkehren, . . . Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 2 Implementierungen für Lineare Listen (1) Mit Hilfe von Arrays: n a1 a2  an Eigenschaften dieser Lösung: - Maximale Anzahl von Elementen vorgegeben (Länge des Arrays) Abhilfe: Dynamisierung - Schlechte Speicherplatzausnutzung für kurze Listen - Teure Verschiebeoperationen beim Einfügen/Entfernen von Elementen + Direkter Zugriff auf feste Positionen Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 3 Implementierungen für Lineare Listen (2) Zyklische Speicherung mit Hilfe von Arrays: Richtung leer an  a1 leer Ende Anfang Richtung  an leer a1  Ende Anfang Besondere Eigenschaften dieser Lösung: + Einfügen/Entfernen an den Listenenden in konstanter Zeit + Umkehren der Liste in konstanter Zeit Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 4 Implementierungen für Lineare Listen (3) Mit Hilfe einfach verketteter (verlinkter) Elemente: • speichere mit jedem Element einen Verweis auf das nächste oder null, falls das Element nicht existiert: Knoten: Inhalt Verweis class node { Grundklasse content; node next; } • Liste L: Verweis auf das erste Element der Kette ... L Besondere Eigenschaften dieser Lösung: + Länge der Liste kann sich beliebig ändern - Kein direkter Zugriff auf Element an der Position p mehr möglich; nur Durchlaufen der Liste in O(p) Schritten erforderlich Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 5 Implementierungen für Lineare Listen (4) Mit Hilfe doppelt verketteter (verlinkter) Elemente: • speichere mit jedem Element zwei Verweise auf das vorherige und nächste Element oder null, falls ein Element nicht existiert. • Liste: .. . head tail Besondere Eigenschaften dieser Lösung: + Umkehren der Liste in Θ(1) + Entfernen von Elementen leichter machbar Θ(1) + Einfügen/Entfernen/Zugriff am Anfang/Ende in Θ(1) + Hintereinanderhängen von Listen in Θ(1) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 6 Stacks (Stapel) und Queues (Schlangen) (1) L  a1 ,..., an  Operation Wirkung Stack Queue Einfügungen L.pushHead(x)  x, a1 ,..., an   L.pushTail(x)  a1 ,..., an , x   Enfernungen L.popHead()  a2 ,..., an  a1   L.popTail()  a2 ,..., an1 , x  an Lesen L.top()  a1   L.bottom()  an Diverses    L.init() L.empty() ( L )   Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 7 Stapel/Stack LIFO Speicher Operationen empty, push, pop , top Maxelzahl frei top  2 Stapel 1 0 Implementation: In Java in der Klassenbibliothek vorhanden: java.util.Stack public class Stack extends Vector { // Default Constructor: public Stack() // Public Instance methods public boolean empty(); public Object top() throws EmptyStackException; public Object pop() throws EmptyStackException; public Object push(Object item); public int search(Object o) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 } Prof. Dr. Thomas Ottmann 8 Anwendungen für Stacks (Stapel) (1) Erkennen balancierter Klammerausdrücke (a(b)) Lesen von „(“  push ("("), Lesen von „)“  pop ("("), Ausdruck korrekt, wenn Stack am Ende leer. Evaluierung korrekt geklammerter Ausdrücke ((a + b)*(c + d)) + f Iterierte Auswertung rekursiver Funktionen (Methoden). Jede Instanz der Funktion kann auf dem Stack Übergabeparameter, lokale Variablen und Returnwerte ablegen oder entnehmen. Schema dabei: 1. Initialisiere Stack mit dem Anfangsproblem (der zu lösenden Aufgabe) 2. Solange Stack nicht leer: Nimm das oberste Problem vom Stack und löse es. Fallen bei der Bearbeitung wieder Teilprobleme an, lege sie ebenfalls auf den Stack. 3. Wenn Stack leer: Das Problem ist gelöst. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 9 Anwendungen für Stacks (Stapel) (2) Algorithmus ParCheck (P) Eingabe: Zeichenkette P aus {,},[,],(,) Ausgabe: „korrekt“ oder „inkorrekt“ D.empty(); //leerer Stapel while noch nicht alle Zeichen von P gelesen do ch = nextCh(P); if (ch == „(„ or ch == „[„ or ch == „{„ ) then D.pushHead(ch); if (ch == „)“ or ch == „]“ or ch == „}“) then if (D.empty() or ch != D.top()) then inkorrekt else D.popHead(); If D.empty() then korrekt else inkorrekt Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 10 Anwendungen für Stacks (Stapel) (3) Auswerten einer rekursiv definierten Funktion: Binomialkoeffizient    1, falls n  k n   k  1, falls k  0    n-1  n  1         , sonst  k-1   k  Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 11 Anwendungen für Stacks (Stapel) (4) Auswerten einer rekursiv definierten Funktion: Ackermann-Funktion A(0,y) = y + 1 A(x+1,0) = A(x,1) A(x+1,y+1) = A(x, A(x+1, y)) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 12 Die Türme von Hanoi Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 13 Die Türme von Hanoi Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 14 Anwendungen für Stacks (Stapel) (5) Beispiel: Die Türme von Hanoi (TOH) Bewege n unterschiedlich große Scheiben von Pfahl 1 nach Pfahl 2 mit Hilfe von Pfahl 3. Nie darf eine größere Scheibe auf einer kleineren liegen. Zu jedem Zeitpunkt darf nur eine Scheibe bewegt werden. Codierung für die genannte Problemstellung: n, 1, 2, 3 Bewege Scheibe Nr. n direkt (falls frei) von 1 nach 2, Codierung: -n, 1, 2, 0 1. Initialisierung: s.push(n,1,2,3) 2. Wenn s.pop() n, a, b, c liefert, dann falls (n < 0): „Bewege Scheibe Nr. |n| von a nach b.“ falls (n = 0): nichts falls (n > 0): s.push(n-1,c,b,a); (zuletzt) s.push(-n,a,b,0); (dann) s.push(n-1,a,c,b); (zuerst) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 15 Bsp.: Die Türme von Hanoi (1) class ArrNode { // Knoten fuer TOH-Stack private int [] content; private ArrNode next; ArrNode (int [] a, ArrNode n){ // Konstruktor content = a; next = n; } public int [] getContent (){ return content; } public ArrNode getNext(){ return next; } } // ArrNode Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 16 Bsp.: Die Türme von Hanoi (2) class TohStack { // der Stack fuer TOH ArrNode Head; TohStack (){ // Konstruktor Head = null; } public boolean empty (){ // Test ob leer return Head == null; } public void push (int a, int b, int c, int d){ int [] arr = { a, b, c, d }; Head = new ArrNode (arr, Head); } public int [] pop (){ ArrNode h = Head; Head = Head.getNext(); return h.getContent (); } } // TohStack Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 17 Bsp.: Die Türme von Hanoi (3) public class TohStackTest { public static void main (String args[]){ TohStack s = new TohStack (); s.push (Integer.parseInt (args[0]),1,2,3); // Startproblem while ( !s.empty () ) { // Iteration statt Rekursion int [] a = s.pop (); if (a[0] < 0) System.out.println ( "bewege Scheibe Nr. "+(-a[0])+ " von Pfeiler "+a[1]+" nach "+a[2]); else if (a[0] != 0) { s.push (a[0]-1, a[3], a[2], a[1]); s.push ( -a[0], a[1], a[2], 0 ); s.push (a[0]-1, a[1], a[3], a[2]); } } } } // TohStackTest Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 18 Schlange/Queue FIFO Speicher: empty, enqueue, dequeue frei 0 size-1 tail head class Queue { Schlange Object element[]; int lastOp, tail, head, size; static final int deque = 1; static final int enque = 0; Queue(int sz) { size = sz; head = 0; tail = size-1; lastOp = deque; element = new Object[sz]; } public boolean empty(){ return head==(tail+ 1)%size;} public void enqueue(Object elem) throws Exception ... public Object dequeue() throws Exception ... } Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 19 Operationen public void enqueue(Object elem) throws Exception { if ((head == (tail+1)%size) && lastOp == enque) throw new Exception("Queue full"); lastOp = enque; tail = (tail + 1) % size; element[tail] = elem; } public Object dequeue() throws Exception { if ((head == (tail+1)%size) && (lastOp == deque)) throw new Exception("Queue empty"); Object temp = element[head]; lastOp = deque; head = (head + 1) % size; return temp; } Test: public static void main(String argv[]) { Queue Q = new Queue(10); try { Q.enqueue(new String("Haus")); Q.enqueue(new Integer(10)); Object o = Q.dequeue(); System.out.println(o); } catch (Exception e) { System.out.println(e); } } Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 20 Anwendung: Topologische Sortierung Definition: Die Relation ≤ ist eine vollständige bzw. partielle Ordnung auf M, wenn (1)-(4) bzw. (2)-(4) gelten. (1)  x, y M: x ≤ y oder y ≤ x (Vollständigkeit) (2)  x M: x ≤ x (Reflexivität) (3)  x, y M: Wenn x ≤ y und y ≤ x, so ist x = y. (Antisymmetrie) (4)  x, y, z  M: Wenn x ≤ y und y ≤ z, dann ist x ≤ z (Transitivität) Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 21 Topologische Sortierung: Beispiel Beispiel: Potenzmenge 2M einer Menge M bezüglich Teilmengenrelation partiell aber nicht vollständig geordnet. Topologische Sortierung: Gegeben M und ≤ partiell. Gesucht: Einbettung in vollständige Ordnung, d.h. die Elemente von M sind in eine Reihenfolge m1,...,mn zu bringen, wobei mi ≤ mj impliziert i < j gilt. Lemma: Jede partiell geordnete Menge lässt sich topologisch sortieren. Beweisidee: Es genügt, die Existenz eines minimalen Elements z in M zu zeigen. z muss nicht eindeutig sein. Wähle m1 = z und sortiere M – {z} topologisch. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 22 Verwendete Datenstrukturen A : Array der Länge n, A[i] natürliche Zahl L[i] : Liste von Zahlenpaaren Q : Queue (Schlange), die ebenfalls Zahlen enthält Algorithmus : Eingabe : p Paare (i,j) mit xi ≤ xj und M = {x1,...,xn} (1) Setze alle A[i] auf 0, alle L[i] und Q seien leer (2) Wird (j,k) gelesen, wird A[k] um 1 erhöht und in L[j] eingetragen. (3) Durchlaufe A: Schreibe alle k mit A[k] = 0 in Q (4) While Q ≠ { } j = Q.dequeue() Gebe xj aus Durchlaufe L[j]: Wird (j,k) gefunden, wird A[k] um 1 verringert. Falls A[k] = 0 ist, Q.enqueue(k) Satz : Der Algorithmus löst das Problem Topologische Sortierung in O(n+p) Zeit. Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 23 Beispiel Eingabe: (1,3), (3,7), (7,4), (4,6), (9,2), (9,5), (2,8), (5,8), (8,6), (9,7), (9,4) Datenstruktur nach der Vorverarbeitung: Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 24 Beispiel Eingabe: (1,3), (3,7), (7,4), (4,6), (9,2), (9,5), (2,8), (5,8), (8,6), (9,7), (9,4) Datenstruktur nach der Vorverarbeitung: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A: [0 1 1 2 1 2 2 2 0] L: 1,3 2,8 3,7 4,6 5,8 7,4 8,6 9,2 9,5 9,7 9,4 Ablauf des Algorithmus: Q | -----------+--------------------------- Out | Informatik II: Algorithmen und Datenstrukturen, SS 2008 Prof. Dr. Thomas Ottmann 25
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